【聚焦中考】（陕西）中考数学总复习 第21讲 特殊三角形教学案.doc

第21讲特殊三角形陕西中考说明陕西20122014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1等腰三角形1.了解等腰三角形的有关概念；2.掌握并探索等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；3.会证明等腰三角形的性质和判定定理考点2等边三角形1.了解等边三角形的概念；2.探索等边三角形的性质；3.会证明等边三角形的性质和判定定理考点3直角三角形1.了解直角三角形的性质；2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3.掌握并探索直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件；4.会证明直角三角形的性质和判定定理；5.会利用勾股定理解决简单问题；6.体验勾股定理的探索过程2013填空题143利用勾股定理及直角三角形的性质求三角形面积0.8%陕西中考对本节内容单独考查的较少，近三年只考查过1次，涉及勾股定理的计算及直角三角形的性质，但在综合题中，常常会用到本节的知识，如对垂径定理的考查会涉及勾股定理，求线段长会用到等腰或直角三角形的性质，在解答题中有时会涉及特殊三角形的判定等，因此学好本节内容是解决几何综合题的基础，预计2015年中考仍会涉及特殊三角形的相关性质与判定，可能会与四边形或圆结合考查1等腰三角形(1)性质：_两腰_相等，_两底角_相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；是轴对称图形，有_1_条对称轴；面积sah(h是边a上的高)；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形2等边三角形(1)性质：_三边_相等，三内角都等于_60_；是轴对称图形，有_3_条对称轴；面积sah(h是边a上的高)(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60的等腰三角形是等边三角形3直角三角形在abc中，c90.(1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a2b2_c2_；(2)角与角的关系：ab_90_；(3)边与角的关系：若a30，则ac，bc；若ac，则a30；若a45，则abc；若ac，则a45；srtabcchab，其中a，b为两个直角边，c为斜边，h为斜边上的高，rtabc内切圆半径r，外接圆半径r斜边上的中线(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形一个方法面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30、45这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心三个防范(1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形(2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然(3)在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边，从而造成误解(2013陕西)如图，四边形abcd的对角线ac，bd相交于点o，且bd平分ac.若bd8，ac6，boc120，则四边形abcd的面积为_12_等腰三角形有关边角的讨论【例1】(1)(2014盐城)若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数为( d )a40b50c60d70(2)(2014潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x212xk0的两个根，则k的值是( b )a27 b36 c27或36 d18【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论1(2014宜昌)如图，在abc中，abac，a30，以b为圆心，bc的长为半径圆弧，交ac于点d，连接bd，则abd( b )a30b45c60d90等腰三角形的性质【例2】(2014杭州)在abc中，abac，点e，f分别在ab，ac上，aeaf，bf与ce相交于点p.求证：pbpc，并直接写出图中其他相等的线段解：在abf和ace中，abface(sas)，abface(全等三角形的对应角相等)，bfce(全等三角形的对应边相等)，abac，aeaf，becf，在bep和cfp中，bepcfp(aas)，pbpc，bfce，pepf，图中相等的线段为pepf，becf，bfce【点评】在证明线段相等时，利用全等三角形的对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解题方法之一2(2012肇庆)如图，已知acbc，bdad，ac与bd交于点o，acbd.求证：(1)bcad；(2)oab是等腰三角形解：(1)acbc，bdad，dc90，在rtacb和rtbda中，abba，acbd，acbbda(hl)，bcad(2)由acbbda得cabdba，oab是等腰三角形等边三角形【例3】(2013聊城)如图，在等边abc中，ab6，d是bc的中点，将abd绕点a旋转后得到ace，那么线段de的长度为_3_.【点评】在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件3(2014益阳)如图，将等边abc绕顶点a顺时针方向旋转，使边ab与ac重合得acd，bc的中点e的对应点为f，则eaf的度数是_60_.直角三角形、勾股定理【例4】(1)(2014无锡)如图，abc中，cdab于d，e是ac的中点若ad6，de5，则cd的长等于_8_,第(1)题图),第(2)题图)(2)(2013山西)如图，在矩形纸片abcd中，ab12，bc5，点e在ab上，将dae沿de折叠，使点a落在对角线bd上的点a处，则ae的长为_【点评】在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法4(2014东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_10_米试题在abc中，高ad和高be相交于h，且bhac，求abc的度数错解解：如图，在rtbhd和rtacd中，ccad90，chbd90，hbdcad.又bhac，bhdacd，bdad.adb90，abc45.正解解：这里的abc有两种情况，abc是锐角(图)或abc是钝角(图)如图，在rtbhd和rtacd中，易得dcadhb.又acbh，dhbdca，addb，dba45，abc135.综上：abc45或abc135.试题已知abc是等腰三角形，由a所引bc边上的高恰好等于bc边长的一半，试求bac的度数错解解：如图，adbc，adbcbdcd，badbccad45，bac90.剖析(1)对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则容易出现错解或漏解的错误(2)当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面正解解：题目中并没有指明bc是等腰abc的底或腰当bc为底时，