三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第三章 三角函数 3.7 解三角形课件.ppt

3 7解三角形 一 正弦定理和余弦定理1 正弦定理 余弦定理 abc中 三内角a b c的对边分别为a b c abc的外接圆半径为r 1 正弦定理 2r 2 余弦定理a2 b2 c2 2bccosa b2 a2 c2 2accosb c2 a2 b2 2abcosc 余弦定理的推论 cosa cosb c c cosc 2 解斜三角形的类型 1 已知两角及一边 用正弦定理 有解时 只有一解 2 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理 有解的情况可分为以下几种 在 abc中 已知a b和角a 上表中a为锐角时 a bsina无解 a为钝角时 a b a b均无解 3 三角形面积设 abc的三边为a b c 三边所对的三个角分别为a b c 面积为s 1 s ah h为bc边上的高 2 s absinc 3 s 2r2sinasinbsinc r为 abc外接圆的半径 4 s r为 abc外接圆的半径 5 s 6 s pr 3 已知三边 用余弦定理 有解时 只有一解 4 已知两边及夹角 用余弦定理 必有一解 c c 1 距离的测量 二 正弦 余弦定理的应用 2 高的测量 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中 目标视线在水平视线 的叫仰角 目标视线在水平视线 的叫俯角 如图 a 所示 c 上方 下方 2 方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 b 所示 3 坡角指坡面与水平面所成的二面角 1 2015北京东城联考 已知a b c分别是 abc三边的长 若满足等式 a b c a b c ab 则角c的大小为 a 60 b 90 c 120 d 150 答案c由 a b c a b c ab 得 a b 2 c2 ab c2 a2 b2 ab a2 b2 2abcosc cosc c 120 c 2 在 abc中 sin2a sin2c sina sinb sinb 则c等于 a b c d 答案b由sin2a sin2c sina sinb sinb 结合正弦定理可得a2 c2 a b b ab b2 即a2 b2 c2 ab 结合余弦定理可得2abcosc ab 解得cosc 所以c c 3 如图所示 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于akm 灯塔a在观察站c的北偏东20 灯塔b在观察站c的南偏东40 则灯塔a与灯塔b的距离为 a akmb akmc akmd 2akm答案b在 abc中 acb 180 20 40 120 ab2 ac2 bc2 2 ac bccos120 a2 a2 2a2 3a2 ab akm 故选b c 4 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若a2cosasinb b2sinacosb 则 abc的形状为 a 等腰直角三角形b 直角三角形c 等边三角形d 等腰三角形或直角三角形答案d由a2cosasinb b2sinacosb及正弦定理得sin2a sin2b 所以a b或a b 故选d c 5 在 abc中 由已知条件解三角形 其中有两解的是 a b 20 a 45 c 80 b a 30 c 28 b 60 c a 14 b 16 a 45 d a 12 c 15 a 120 答案c由选项c条件可知bsina a b 故有两解 故选c c 6 已知 abc的内角a b c成等差数列 且a b c所对的边分别为a b c 则下列结论中正确的为 把所有正确结论的序号都填上 b 若a b c成等比数列 则 abc为等边三角形 若a 2c 则 abc为锐角三角形 若 则3a c 若tana tanc 0 则 abc为钝角三角形 答案 解析对于 内角a b c成等差数列 a c 2b 又a b c b c 故 正确 对于 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosb a2 c2 ac 又b2 ac a2 c2 ac ac 即 a c 2 0 a c 又b abc为等边三角形 故 正确 对于 b2 a2 c2 2accosb 4c2 c2 2c2 3c2 b c 此时满足a2 b2 c2 说明 abc是直角三角形 故 不正确 对于 c2 bccosa accosb abcosc ac b ccosa acosc ac b2 ac a2 c2 ac 化简得c 2a 又b2 a2 c2 ac 3a2 b a 此时有a2 b2 c2 c a 3a c 故 正确 对于 tana tanc tan a c 1 tanatanc a c tana tanc tanatanc tana tanc tana tanc 0 且在 abc中 a c不能同为钝角 a c都是锐角 abc为锐角三角 形 故 不正确 利用正弦 余弦定理解三角形典例1在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知a b c cos2a cos2b sina cosa sinbcosb 1 求角c的大小 2 分别求下列各数量的取值范围 解析 1 由题意得 sin2a sin2b 即sin2a cos2a sin2b cos2b sin sin 由a b 得a b 又a b 0 得2a 2b 即a b 所以c 2 解法一 由余弦定理c2 a2 b2 2abcosc知3 a2 b2 ab 所以3 ab a2 b2 2ab 所以ab 3 当且仅当a b 时 等号成立 所以s abc absinc 又s abc 0 所以s abc 解法二 因为 2 所以a 2sina b 2sinb 又a b 所以s abc absinc sinasinb sinasin sinacosa sin2a sin2a cos2a sin 又0c 所以 a b 2 则2 c abc a b c 3 解法二 因为 2 所以a 2sina b 2sinb 则a b 2sina 2sinb 2sina 2sin 3sina cosa 2sin 又0 a 所以 a 则 sin 1 所以 a b 2 2 c abc 3 2a b 4sina 2sinb 4sina 2sin 5sina cosa 2sin a 其中sin cos 又0 a 所以 a 又0 sin 所以0 则 sin sin a 1 故 2a b 2 s abc a b c r r 又a2 b2 3 ab 所以 a b 2 3 3ab 所以r a b 又 a b 2 所以0 r 利用正 余弦定理判断三角形形状的两种思路 1 角化边 利用正弦 余弦定理把已知条件转化为只含边的关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 边化角 利用正弦 余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角 函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用 abc中a b c 这个结论 在两种解法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 三角形中常见的结论 在 abc中 a b c 在三角形中大边对大角 反之亦然 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 三角形abc内的诱导公式 sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc sin cos cos sin 在 abc中 tana tanb tanc tana tanb tanc abc中 a b c成等差数列的充要条件是b 60 abc为正三角形的充要条件是a b c成等差数列且a b c成等比数列 1 1 2015陕西 17 12分 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 向量m a b 与n cosa sinb 平行 1 求a 2 若a b 2 求 abc的面积 解析 1 因为m n 所以asinb bcosa 0 由正弦定理 得sinasinb sinbcosa 0 又sinb 0 从而tana 由于0 a 所以a 2 解法一 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa及a b 2 a 得7 4 c2 2c 即 c c2 2c 3 0 因为c 0 所以c 3 故 abc的面积为bcsina 解法二 由正弦定理 得 从而sinb 又由a b 知a b 所以cosb 故sinc sin a b sin sinbcos cosbsin 所以 abc的面积为absinc 1 2 2015浙江杭州西湖高级中学月考 在 abc中 已知sina cosb sinc 那么 abc一定是 a 直角三角形b 等腰三角形c 等腰直角三角形d 正三角形答案a解析由正弦定理 余弦定理得a c b2 c2 a2 a 90 故选a c 正弦 余弦定理与三角形面积典例2 2015浙江 16 14分 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 已知a b2 a2 c2 1 求tanc的值 2 若 abc的面积为3 求b的值 解析 1 由b2 a2 c2及正弦定理得sin2b sin2c 所以 cos2b sin2c 又由a 即b c 得 cos2b sin2c 2sinccosc 解得tanc 2 2 由tanc 2 c 0 得sinc cosc 又因为sinb sin a c sin 所以sinb c 由正弦定理得c b 又因为a bcsina 3 所以bc 6 故b 3 2 1 2014课标 16 5分 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 a 2 且 2 b sina sinb c b sinc 则 abc面积的最大值为 答案解析因为a 2 所以 2 b sina sinb c b sinc可化为 a b sina sinb c b sinc 由正弦定理可得 a b a b c b c 即b2 c2 a2 bc 由余弦定理可得cosa 又0 a 故a 又cosa 所以bc 4 当且仅当b c时取等号 由三角形面积公式知s abc bcsina bc bc 故 abc面积的最大值为 c 2 2 2015石家庄一模 已知平面图形abcd为凸四边形 且ab 2 bc 4 cd 5 da 3 则四边形abcd面积s的最大值为 a b 2c 4d 6答案b解析连结bd 则s 2 3 sina 4 5 sinc 3sina 10sinc 根据余弦定理得 bd2 13 12cosa 41 40cosc 得10cosc 3cosa 7 两边同时平方得100cos2c 9cos2a 60cosccosa 49 得100sin2c 9sin2a 60 60cosccosa 则s2 3sina 10sinc 2 100sin2c 9sin2a 60sincsina 60 60cosacosc 60sincsina 60 60cos c a 120 所以s 2 故选b c 正弦 余弦定理在实际中的应用典例3 2015湖北 13 5分 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 答案100解析依题意有ab 600 cab 30 cba 180 75 105 dbc 30 dc cb acb 45 在 abc中 由 得 有cb 300 在rt bcd中 cd cb tan30 100 则此山的高度cd 100m 有两种路径 一种是从a沿直线步行到c 另一种是先从a沿索道乘缆车到b 然后从b沿直线步行到c 现有甲 乙两位游客从a处下山 甲沿ac匀速步行 速度为50m min 在甲出发2min后 乙从a乘缆车到b 在b处停留1min后 再从b匀速步行到c 假设缆车匀速直线运行的速度为130m min 山路ac长为1260m 经测量 cosa cosc 1 求索道ab的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 3 1 2013江苏 18 16分 如图 游客从某旅游景区的景点a处下山至c处 解析 1 在 abc中 因为cosa cosc 所以sina sinc 从而sinb sin a c sin a c sinacosc cosasinc 由 得ab sinc 1040 m 所以索道ab的长为1040m 2 设乙出