高三数学一轮复习 第五章 平面向量 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理.ppt

理数课标版 第二节平面向量的基本定理及坐标表示 1 平面向量的基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个 不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 教材研读 2 平面向量的坐标运算 1 向量加法 减法 数乘及向量的模设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 a 2 向量坐标的求法 i 若向量的起点是坐标原点 则终点坐标即为向量的坐标 ii 设a x1 y1 b x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 3 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 b 0 则a b x1y2 x2y1 0 1 已知点a 1 3 b 4 1 则与向量同方向的单位向量为 a b c d 答案a a 1 3 b 4 1 3 4 又 5 与同向的单位向量为 故选a 2 若向量a 1 1 b 1 0 c 6 4 则c a 4a 2bb 4a 2bc 2a 4bd 2a 4b答案a设c a b r 则有 6 4 0 即 6 4 从而 2 故c 4a 2b 3 如果e1 e2是平面 内一组不共线的向量 那么下列四组向量中 不能作为平面内所有向量的一组基底的是 a e1与e1 e2b e1 2e2与e1 2e2c e1 e2与e1 e2d e1 3e2与6e2 2e1答案d选项a中 设e1 e2 e1 则无解 选项b中 设e1 2e2 e1 2e2 则无解 选项c中 设e1 e2 e1 e2 则无解 选项d中 e1 3e2 6e2 2e1 所以两向量是共线向量 4 设e1 e2是平面内一组基底 若 1e1 2e2 0 则 1 2 答案0解析假设 1 0 由 1e1 2e2 0 得e1 e2 e1与e2共线 这与e1 e2是平面内一组基底矛盾 故 1 0 同理 2 0 1 2 0 5 已知向量 k 12 4 5 k 10 且a b c三点共线 则k 答案 解析 4 k 7 2k 2 因为a b c三点共线 即与共线 所以 k 0 解得k 考点一平面向量基本定理及其应用典例1 2017沈阳四中期中 在 abc中 点p是ab上一点 且 q是bc的中点 aq与cp的交点为m 又 t 则实数t的值为 答案解析因为 所以3 2 即2 2 所以2 即p为ab的一个三等分点 靠近a点 考点突破 又因为a m q三点共线 设 所以 又 t t t t 故解得故t的值是 规律总结 1 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 2 平面上a b c三点共线的充要条件是 对于平面内任意一点p 存在唯一的一对实数x y 使 x y 且x y 1 变式1 1在本例中 试问点m在aq的什么位置 解析由例题知 及 又 2 1 1 因此点m是aq的中点 1 2在 abc中 点d在bc边上 且 2 r s 则r s a b c 3d 0答案d由题意知 又 r s 所以r s 所以r s 0 故选d 考点二平面向量的坐标运算典例2已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 设 a b c 且 3c 2b 求 1 3a b 3c 2 满足a mb nc的实数m n 3 m n的坐标及向量的坐标 解析由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n 5 5 解得 3 设o为坐标原点 3c 3c 3 24 3 4 0 20 m 0 20 又 2b 2b 12 6 3 4 9 2 n 9 2 9 18 方法技巧平面向量坐标运算的技巧 1 利用向量加 减 数乘运算的法则来进行求解 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 2 解题过程中 常利用 向量相等 则坐标相同 这一结论 由此可列方程 组 进行求解 2 1已知点a 1 5 和向量a 2 3 若 3a 则点b的坐标为 a 7 4 b 7 14 c 5 4 d 5 14 答案d设点b的坐标为 x y 则 x 1 y 5 由 3a 得解得 故点b的坐标为 5 14 2 2在 abc中 点p在bc上 且 2 点q是ac的中点 若 4 3 1 5 则 a 2 7 b 6 21 c 2 7 d 6 21 答案b 2 3 3 q是ac的中点 2 又 3 2 6 21 考点三平面向量共线的坐标表示典例3平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 求满足a mb nc的实数m n 2 若 a kc 2b a 求实数k 解析 1 由题意得 3 2 m 1 2 n 4 1 解得 2 a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 由题意得2 3 4k 5 2 k 0 k 规律总结1 向量共线的两种表示形式若a b b 0 则 a b x1y2 x2y1 0 a x1 y1 b x2 y2 至于使用哪种形式 应视题目的具体条件而定 一般涉及坐标时应用 2 与向量共线有关的题型有 1 证三点共线 2 已知两向量共线 求相关参数 解决第 1 种问题时 可先证明相关两向量共线 再说明两向量有公共点 解决第 2 种问题时 可先利用向量共线的充要条件列方程 组 再求解 3 1 2017广东