高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数与函数的综合问题课件 文.ppt

文数课标版 第四节导数与函数的综合问题 1 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 对h x 求导 4 利用h x 判断h x 的单调性或最值 教材研读 5 下结论 2 一元三次方程根的个数问题令f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 方程f x 0的判别式 2b 2 12ac 1 当 0 即b2 3ac时 f x 0恒成立 f x 在r上为增函数 结合函数f x 的图象知 方程f x 0有 唯一一个实根 2 当 0 即b2 3ac时 方程f x 0有两个不同的实根 设为x1 x2 x1m a 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 b 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 c 当m0时 方程f x 0有 三个实根 d 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 e 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 3 生活中的利润最大 用料最省 效率最高等问题我们称之为优化问题 导数是解决生活中优化问题的有力工具 用导数解决优化问题的基本思路 1 分析实际问题中各量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 确定极值点 3 比较函数在区间端点的值和在极值点的值的大小 最大 小 值为函数的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 a 13万件b 11万件c 9万件d 7万件答案cy x2 81 令y 0 得x 9或x 9 舍去 当00 函数单调递增 当x 9时 y 0 函数单调递减 故当x 9时 y取最大值 2 已知函数f x 的定义域为 1 4 部分对应值如下表 f x 的导函数y f x 的图象如图所示 当1 a 2时 函数y f x a的零点的个数为 a 2b 3c 4d 5 答案c根据已知条件可还原出函数f x 在定义域 1 4 内的大致图象 函数y f x a的零点个数即直线y a与曲线y f x 的交点个数 因为1 a 2 所以交点个数为4 故选c 3 若a 3 则方程x3 ax2 1 0在 0 2 上的实根个数为 a 0b 1c 2d 3 答案b设f x x3 ax2 1 则f x 3x2 2ax x 3x 2a 由于a 3 则在 0 2 上f x 0 f 2 9 4a 0 则方程x3 ax2 1 0在 0 2 上恰有1个实根 故选b 4 设函数f x ax3 3x 1 x r 若对于任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数a的值为 答案4解析若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0 即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0可化为a 设g x 则g x 所以g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 因此g x max g 4 从而a 4 当x 0 即x 1 0 时 a 同理可求得a 4 综上 可知a 4 考点一利用导数研究恒成立问题和存在性问题命题角度一恒成立问题典例1 2016陕西西北九校联考 已知函数f x lnx t x 1 t为实数 1 当t 1时 求函数f x 的单调区间 2 当t 时 f x 0 f x 1 由f x 0可得x 1 函数f x 的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 考点突破 2 当t 时 f x lnx 则 f x lnx 当x 1时 f x 1 则g x x lnx 1 x 1 lnx x 1 令h x x 1 lnx x 1 则h x 1 x 1 当x 1时 h x 0 函数h x x 1 lnx在 1 上单调递增 故h x h 1 0 从而当x 1时 g x 0 即函数g x 在 1 上单调递增 故g x g 1 实数k的取值范围是 1 1 2016湖北优质高中联考 已知函数g x 满足g x g 1 ex 1 g 0 x x2 且存在实数x0使得不等式2m 1 g x0 成立 则m的取值范围为 a 2 b 3 c 1 d 0 答案cg x g 1 ex 1 g 0 x 当x 1时 g 0 1 由g 0 g 1 e0 1 解得g 1 e 所以g x ex x x2 则g x ex 1 x 当x0时 g x 0 所以当x 0时 函数g x 取得最小值g 0 1 根据题意将不等式转化为2m 1 g x min 1 所以m 1 故选c 典例2已知函数f x x a 1 lnx a r g x x2 ex xex 1 当x 1 e 时 求f x 的最小值 2 当a 1时 若存在x1 e e2 使得对任意的x2 2 0 f x1 g x2 恒成立 求a的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 当a 1时 x 1 e f x 0 f x 为增函数 所以f x min f 1 1 a 当1 a e时 x 1 a 时 f x 0 f x 为减函数 x a e 时 f x 0 f x 为增函数 命题角度二存在性问题 所以f x min f a a a 1 lna 1 当a e时 x 1 e 时 f x 0 f x 在 1 e 上为减函数 所以f x min f e e a 1 综上 当a 1时 f x min 1 a 当1 a e时 f x min a a 1 lna 1 当a e时 f x min e a 1 2 由题意知f x x e e2 的最小值小于g x x 2 0 的最小值 当a 1时 由 1 知f x 在 e e2 上单调递增 所以f x min f e e a 1 由题意知g x 1 ex x 当x 2 0 时 g x 0 g x 为减函数 g x min g 0 1 所以e a 1 所以a的取值范围为 易错警示 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a 对于x d恒成立 应求f x 的最小值 若存在x d 使得f x g a 成立 应求f x 的最大值 在具体问题中究竟是求最大值还是最小值 可以先联想 恒成立 是求最大值还是最小值 这样也就可以解决相应的 存在性 问题是求最大值还是最小值 特别需要关注等号是否成立问题 以免细节出错 考点二利用导数证明不等式典例3 2016课标全国 21 12分 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 2 证明当x 1 时 11 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 解析 1 由题设知 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 2 证明 由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 故当x 1 时 lnx1 设g x 1 c 1 x cx 则g x c 1 cxlnc 令g x 0 解得x0 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 方法技巧若证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 若f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时 若f a 0 由减函数的定义可知 当x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 2 1 2016安徽合肥二模 已知函数f x 1 若f x 在区间 2 上为单调递增函数 求实数a的取值范围 2 若a 0 x0 1 设直线y g x 为函数f x 的图象在x x0处的切线 求证 f x g x 解析 1 易得f x 由已知可知f x 0对x 2 恒成立 1 a 2 a 1 故实数a的取值范围为 1 2 证明 a 0 则f x 故f x 函数f x 的图象在x x0处的切线方程为y g x f x0 x x0 f x0 令h x f x g x f x f x0 x x0 f x0 x r 则h x f x f x0 设 x 1 x 1 x0 ex 则 x 1 x0 ex x00 当x x0时 x 0 当x x0时 h x 0 h x 在区间 x0 上为增函数 在区间 x0 上为减函数 x r时 h x h x0 0 f x g x 考点三利用导数研究函数零点或方程根的问题典例4 2016课标全国 21 12分 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解析 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a i 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 ii 设a 则ln 2a 0 当x ln 2a 1 时 f x 1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 则由 1 知 f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 又f 1 e f 2 a 取b满足b b 2 a b 1 2 a 0 所以f x 有两个零点 ii 设a 0 则f x x 2 ex 所以f x 只有一个零点 iii 设a 0 若a 则由 1 知 f x 在 1 上单调递增 又当x 1时f x 0 故f x 不存在两个零点 若a 则由 1 知 f x 在 1 ln 2a 上单调递减 在 ln 2a 上单调递增 又当x 1时f x 0 故f x 不存在两个零点 综上 a的取值范围为 0 方法技巧利用导数研究函数零点的方法 方法一 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 根据函数f x 的性质作出图象 3 判断函数零点的个数 方法二 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 分类讨论 判断函数零点的个数 3 1 2014课标 21 12分 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 考点四用导数解决实际生活中的优化问题典例5 2016云南玉溪一中月考 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱 它已经成为学生们课外学习的一种趋势 假设某网校的套题每日的销售量y 单位 千套 与销售价格x 单位 元 套 满足的关系式为y 4 x 6 2 其中2 x 6 m为常数 已知销售价格为4元 套时 每日可售出套题21千套 1 求m的值 2 假设网校的员工工资 办公等所有开销折合为每套题2元 只考虑销售出的套数 试确定销售价格x的值 使网校每日销售套题所获得的利润最大 精确到0 1 解析 1 因为x 4时 y 21 所以 16 21 解得m 10 2 设每日销售套题所获得的利润为f x 元 由 1 可知 套题每日的销售量y 4 x 6 2 所以f x x 2 10 4 x 6 2 x 2 4x3 56x2 240 x 278 2 x 6 从而f x 12x2 112x 240 4 3x 10 x 6 20 函数f x 单调递增 在上 f x 0 函数f x 单调递减 所以x 是函数f x 在 2 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 3 3时 函数f x 取得最大值 故当销售价格为3 3元 套时 网校每日销售套题所获得的利润最大 规律总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点处的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题 结合实际问题作答 4 1某食品厂进行蘑菇的深加工 每千克蘑菇的成本为20元 并且每千克蘑菇的加工费为t元 t为常数 且2 t 5 设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元 25 x 40 根据市场调查 销售量q千克与ex成反比 当每千克蘑菇的出厂价为30元时 日销售量为1