【步步高】高考数学总复习 5.3平面向量的数量积配套文档 理 新人教A版 (1).DOC

5.3平面向量的数量积1平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab0，两个非零向量a与b平行的充要条件是ab|a|b|.2平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a，b，abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，aaa2，|a|；(4)cos ；(5)|ab|_|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a、b两点间的距离|ab|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)abc内有一点o，满足0，且，则abc一定是等腰三角形()(4)在四边形abcd中，且0，则四边形abcd为矩形()(5)两个向量的夹角的范围是0，()(6)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是0.()2(2012陕西)设向量a(1，cos )与b(1,2cos )垂直，则cos 2等于()a. b. c0 d1答案c解析利用向量垂直及倍角公式求解a(1，cos )，b(1,2cos )ab，ab12cos20，cos2，cos 22cos21110.3已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于()a150 b90 c60 d30答案d解析|a2b|2444ab88cos 6012，|a2b|2，a(a2b)|a|a2b|cos 22cos 4cos ，又a(a2b)a22ab44cos 606，4cos 6，cos ，0，180，30，故选d.4在abc中，1，2，则ab边的长度为()a1 b3 c5 d9答案b解析表示在方向上的单位向量设abc各边分别为a，b，c，则bcos a1，同理，acos b2.由余弦定理可得解方程组得c3或0(舍)故选b.5已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_答案解析设a和b的夹角为，|a|cos |a|.题型一平面向量数量积的运算例1(1)在rtabc中，c90，ac4，则等于()a16 b8 c8 d16(2)(2012北京)已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，则的值为_；的最大值为_思维启迪(1)c90，可选取向量，为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；(2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义答案(1)d(2)11解析(1)方法一()()216.方法二在方向上的投影是ac，|216.(2)方法一以射线ab，ad为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a(0,0)，b(1,0)，c(1,1)，d(0,1)，设e(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0， 1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论e点在哪个位置，在方向上的投影都是cb1，|11，当e运动到b点时，在方向上的投影最大即为dc1，()max|11.思维升华求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件已知点a，b，c满足|3，|4，|5，则的值是_答案25解析方法一如右图，根据题意可得abc为直角三角形，且b，cos a，cos c，45cos(c)53cos(a)20cos c15cos a201525.方法二易知0，将其两边平方可得2222()0，故(222)25.题型二求向量的夹角与向量的模例2(1)(2012课标全国)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)(2013山东)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若a，且，则实数的值为_思维启迪利用数量积的定义ab|a|b|cos .答案(1)3(2)解析(1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.(2)由知0，即()()(1)a22(1)32940，解得.思维升华(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的(1)已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()a. b. c. d.(2)已知向量a(1，)，b(1,0)，则|a2b|等于()a1 b. c2 d4答案(1)c(2)c解析(1)cosa，b，a，b.(2)|a2b|2a24ab4b244144，|a2b|2.题型三数量积的综合应用例3已知abc的角a、b、c所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin b，sin a)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：abc为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角c，求abc的面积思维启迪(1)由mn可得abc的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由mp得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式(1)证明mn，asin absin b，即ab，其中r是三角形abc外接圆半径，ab.abc为等腰三角形(2)解由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，sabsin c4sin .思维升华以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法(2013江苏)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值(1)证明由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即ab0，因此ab.(2)解由已知条件，又00.又|10，2，(6，8)，又a(1,2)，b点坐标为(7，6)5(2012天津)在abc中，a90，ab1，ac2.设点p，q满足，(1)，r.若2，则等于()a. b. c. d2答案b解析(1)，(1)224(1)342，即.二、填空题6(2012安徽)设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.答案解析利用向量数量积的坐标运算求解ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.7(2013课标全国)已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则_.答案2解析由题意知：()()()()224022.8已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_答案(，6)解析由ab0，即230，解得，由ab得：6，即6.因此，且6.三、解答题9已知向量a(4,5cos )，b(3，4tan )，(0，)，ab，求：(1)|ab|；(2)cos()的值解(1)因为ab，所以ab435cos (4tan )0，解得sin .又因为(0，)，所以cos ，tan ，所以ab(7,1)，因此|ab|5.(2)cos()cos cos sin sin .10已知abc的内角为a、b、c，其对边分别为a、b、c，b为锐角，向量m(2sin b，)，n(cos 2b,2cos21)，且mn.(1)求角b的大小；(2)如果b2，求sabc的最大值解(1)mn2sin b(2cos21)cos 2b0sin 2bcos 2b02sin(2b)0(b为锐角)2bb.(2)cos baca2c242ac4ac4.sabcacsin b4.b组专项能力提升1abc的外接圆圆心为o，半径为2，0，且|，则在方向上的投影为()a1 b2 c. d3答案c解析如图，设d为bc的中点，由0，得2，a、o、d共线且|2|，又o为abc的外心，ao为bc的中垂线，|2，|1，|，在方向上的投影为.2(2013湖南)已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()a1，1 b1，2c1，1 d1，2答案a解析ab0，且a，b是单位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c(ab)2aba2b21，2c(ab)c21.|a|b|1且ab0，|ab|，c212|c|cos (是c与ab的夹角)又1cos 1，0b，求a，b的值解(1)f(x)2sin2x2sin xcos x1cos 2x2sin xcos xsin 2xcos 2x12sin(2x)1.由2k2x2k，kz，得kxk，kz，f(x)的单调增区间是(kz)(2)f(c)2sin(2c)11，sin(2c)1，c是三角形的内角，2c，即c.cos c，即a2b27.将ab2代入可得a27，解得a23或4.a或2，b2或.ab，a2，b.5在平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知向量a(1,2)，又点a(8,0)，b(n，t)，c(ksin ，t)(0)(1)若a，且|，求向量；(2)