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万有引力定律专题二万有引力定律专题二【基本点】点1、用万有引力定律分析天体运动的基本方法把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，即：应用时根据已知条件选用适当公式进行分析。点2.计算天体质量和密度的思路和方法（1）对于行星或卫星的天体，可把行星或卫星绕中心天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需的向心力由中心天体对其的万有引力提供的。 若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的线速度为，根据牛顿第二定律有 , 解得中心天体的质量为 。 若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的周期，根据牛顿第二定律有 ,解得中心天体的质量为 。（2）对于没有行星或卫星的天体（或虽有行星或卫星，但不知道其运行的有关物理量），可以忽略天体自转的影响，根据万有引力近似等于重力的关系列式，计算天体的质量。若已知天体的半径为和该天体表面的重力加速度，则有 ， 解得天体的质量为 。（3）计算天体密度的方法我们近似把中心天体看作球体,设中心天体的半径为, 球体的体积公式,由上面方法求得中心天体的质量为代入密度公式 即可。【典型题解】例1. 宇航员站在一个星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为，万有引力常数为。求该星球的质量。x2xV02V0h分析：如图所示，设抛出点的高度为，第一次平抛的水平位移为则有 由平抛运动规律得知，当初速度增大到 原来的2倍时，其水平位移增大到，可得 由式解得 设该球上的重力加速度为，由平抛运 动的规律得 由万有引力定律与牛顿第二定律有（为小球质量） 由解得 答案：评析：本题有些学生会想到在星球表面某高处，星球某高处的重力加速度随高度的变化而变化。这样，小球究竟做什么运动无法得知。其实在本题中不需要考虑重力加速度随高度增大而减小的因素影响，而应抓住主要因素，认为整个过程不变。解题时易出错的另一个地方是“抛出点与落地点之间的距离”误认为水平位移。例2.海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例，但是在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用了发现海王星的方法经过多年的努力，才由美国的洛维尔天文台在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天文单位（地球和太阳之间的距离为一个天文单位）。求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。分析：设太阳的质量为，行星运行的线速度为，行星的质量为根据得 答案：评析：直接利用行星做圆周运动靠万有引力提供向心力。例3已知地球半径约为，又知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算月球到地心的距离约为 。（结果保留一位有效数字）分析：建立物理模型，质点绕地球作匀速圆周运动，（忽略月球半径，视其为质点），设地球质量为，半径为，表面的重力加速度为，月球绕地球的转动周期为，轨道半径为，由 答案： 评析：向心力可以用周期，线速度，角速度来表示。例41989年英国著名的物理学家卡文迪许首先估算出地球的平均密度。根据你所学的知识，能否估算出地球密度？分析：设地球的质量为，地球的半径为，地球的表面的重力加速度为，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得： 将地球看作均匀球体有： 由得地球的平均密度将常数代入有 答案：【巩固练习】1.已知万有引力常量和下列各组数据，能计算出地球质量的是( )A.月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离B.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离C.人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期D.若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度2.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为，周期为，万有引力常量，则可求得（ ） A.该行星的质量 B.太阳的质量 C.该行星的密度 D.太阳的平均密度3.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为，引力常量为，那么该行星的平均密度为（ ）A. B. C. D.4.绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船中有一质量为10千克的物体挂在弹簧秤上，这时弹簧秤的示数（ ）A.等于98N B.小于98N C.大于98N D.等于05.一颗质量为的卫星绕质量为的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期（ ）A.与卫星的质量无关 B.与卫星的运行速度成正比C.与行星质量的平方根成正比 D.与卫星轨道半径的次方有关6.太阳光到达地球需要的时间为500s，地球绕太阳运行一周需要的时间为365天，试估算太阳的质量（取一位有效数字）。7.宇宙飞船飞到一个不知名的行星表面，能否用一只表通过测定时间测出行星的密度？o图28.两个靠得很近的天体，离其它天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图642所示。已知双星的质量为和，它们之间的距离为。求双星运行轨道半径和，以及运行的周期。9.两个行星质量分别为和，绕太阳运行的轨道半径分别是和，求（1）它们与太阳间的万有引力之比（2）它们的公转周期之比【创新点】点1、星体表面及某一高度处的重力加速度的求法 图6-4-3（1）解释地球上的物体所受地球的万有引力（F）的方向沿半径指向球心，它的一个分力重力（G）竖直向下，另一个分力向心力（Fn ）垂直指向地轴。设重力与万有引力间的夹角 ，所在处的纬度为 ，由图可知： 或 所以在地球上不同纬度的地方，同一物体的重力发生变化。 由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力就等于万有引力的大小。因此，若地球表面的重力加速为，则根据万有引力定律： （为地球的半径）， 该式也适用于其它星体的表面。 OR（2）离地面高处的重力加速度，根据万有引力定律： ，（为地球的半径）点2、不同星球的表面力学规律相同，只是（重力加速度）不同，在解决其他星球表面上的力学问题，若要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要用该星球的重力加速度。点3、发现未知天体海王星和冥王星的发现,是万有引力定律在天文学上具体应用的体现,这充分体现了万有引力定律对研究天体运动的重要意义.点4、天体运行中的近似估算法（1） 利用理想化模型进行估算物理实际问题涉及的因素较多，为了研究解决问题的方便，需要突出主要因素，忽略次要因素，将研究对象进行科学的抽象，使其成为理想化模型而进行近似估算。（2） 利用物理常数进行估算估算问题往往告诉的已知量很少，甚至有时什么量也不知道，解题时就应 该灵活地运用一些物理常数，有时也要根据经验来适当地拟定一些物理常数进行估算。【创新题解】例1.地球绕太阳公转的轨道半径1.491011m，公转的周期是3.16107s，求太阳的质量是多少？ 分析：根据牛顿第二定律，可知： 是由万有引力提供的，所以 由，联立可解例2宇宙飞船由地球飞向月球，当飞到某一位置时，飞船中的宇航员感到自己不受重力作用，此时宇航员在空中的位置距地球中心 。（已知地球与月球中心距离，地球与月球的质量之比为81：1）。分析：当地球对宇航员的万有引力与月球对宇航员的万有引力大小相等时，宇航员感到自己不受重力，即满足即可求出答案： 评析：此时宇宙员处于失重状态，此时万有引力恰好提供向心力。【提升练习】1.为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体作匀速圆周运动的另一星球（或卫星）的条件是（ ）A.质量和运行周期 B.运转周期和轨道半径C.轨道半径和环绕速度 D.环绕速度和运转周期2.已知地球的质量为，月球的质量为，月球绕地球的轨道半径为，周期为，万有引力常量为，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于（ ）A. B. C. D.3.已知地球和火星的质量比，半径比，表面动摩擦因数均为0.5，用一根绳在地球表面上水平拖一个箱子，箱子能获得的最大加速度。将此箱子和绳子送上火星表面，仍用该绳子水平拖木箱，则木箱产生的最大加速度为多少？（地球表面的重力加速度为） （ ）A. B. C. D.4设地球表面的重力加速度为，物体在距离地心（是地球半径）处，由于地球的作用产生的加速度为，则为（ ）A.1 B. C.1/4 D.1/165.地球半径为，地球附近的重力加速度为，则在离地面高度为处的重力加速度是（ ）A. B. C. D. 6.假如地球自转速度达到赤道上的物体“飘”起（即完全失重），那么估算一下，地球上一天等于多少？（地球半径取，结果取两位有效数字）。7两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两个星球中心距离为，其运动周期为，求两个星球的总质量。人造卫星 宇宙速度【基本点】点1.人造卫星的发射速度和运行速度人造卫星的发射速度。所谓发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道。要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行。如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度。人造卫星的运行速度所谓运行速度，是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。根据可知，人造卫星距地面越高（即轨道半径r越大），运行速度越小。实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度。点2.人造卫星运行的线速度，角速度，周期与轨道半径的关系根据，可得卫星运行的线速度为；可见卫星运行的线速度与轨道半径的平方根成反比，即，越大，越小。根据，可得卫星运行的角速度为；可见，卫星运行的角速度与轨道半径的3/2次方成反比, 即，越大，越小。根据，可得卫星运行的周期为；可见，卫星的周期与轨道半径的3/2次方成正比, 即，越大，越大。由、式可以看出卫星的线速度随高度增大而减小，角速度随高度增大而减小，周期随高度增大而增大。在周期、角速度、线速度和轨道半径四个物理量中，一个量发生变化时，另外三个量一定同时变化。点3.三种宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度）在地面附近运转的卫星：地球对卫星的引力近似等于卫星在地面附近所受的重力。即 = =7.9 第一宇宙速度是地球卫星的最小发射速度。第二宇宙速度（脱离速度）（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）。第三宇宙速度（逃逸速度）（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）。【典型题解】例1.两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为 =18，则轨道把轨道半径之比和运行速度之比分别为( ) A. = 41 = 12 B. = 41 = 21 C. = 14 = 12 D. = 14 = 21 分析：根据得 所以根据圆周运动 可得 答案：D例2、同步卫星是指相对于地面不动的人造卫星（ ）A.它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值B.它可以在地面上任一点的正下方，但离地心的距离是一定的C.它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同的值D.它只能在赤道的正上方，切离地心的距离是一定的分析：非同步的人造卫星其轨道平面可与地轴间有任意夹角，但同步卫星的轨道平面一定与地轴垂直，当卫星绕地轴转动的角速度与地球自转的角速度相同时，卫星即相对地面不动，而与地轴垂直的平面又有无限多个，由于卫星受地球的引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星就不可能停留在与赤道平面平行的其他平面上，因此，同步卫星的轨道平面一定与赤道共面，卫星位于赤道的正上方设地球自转的角速度为，同步卫星离地心的距离为r，由牛顿第二定律有，则。可见，同步卫星离地心的距离是一定的，且线速度也是一定的 答案：D评析：同步卫星的问题解决的思路与人造地球卫星问题一样，但要注意区别其运动周期为已知与地球自转周期相同，且其位置是固定位置，只可能在赤道上空某一具体的高度。【巩固练习】1关于人造卫星，下列说法正确的是（ ）A.人造卫星环绕地球的运行的速度可能为5.0km/sB.人造卫星环绕地球的运行的速度可能为7.9km/sC.人造卫星环绕地球的运行的周期可能为80minD.人造卫星环绕地球的运行的周期可能为200min2当人造地球卫星已进入预定轨道后，下列说法正确的是（ ）A.卫星及卫星内的任何物体均不受重力作用B.卫星及卫星内的任何物体仍受重力作用，并可用弹簧秤直接称出物 体所受的重力的大小C.如果卫星自然破裂成质量不等的两块，则这两块仍按原来的轨道和周期运行D.如果在卫星内有一个物体自由释放，则卫星内观察者将可以看到物体做自由落体运动3同步卫星离地心的距离为，运行速度为，加速度，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度第一宇宙速度为，地球的半径为，则（ ）A B c D4.关于第一宇宙速度，下列说法错误的是（ ）A.它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度B.它是人造地球卫星在近地轨道运行的最大速度C.它是人造地球卫星进入近地轨道的最小发射速度D.从人造卫星环绕地球运行的速度，把卫星发射到越远的地方越容易5人造卫星在环绕地球做圆周运动时，卫星中物体处于失重状态是指（ ）A.不受地球重力，而只受向心力的作用B.失重状态是指物体失去地球的重力作用C.对支持它的物体