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函数 导数及其应用 第二章 第9讲对数与对数函数 栏目导航 1 对数的概念 1 对数的定义如果ax n a 0 且a 1 那么数x叫做以a为底n的对数 记作 其中 叫做对数的底数 叫做真数 x logan a n 2 几种常见对数 logan 10 lgn e lnn n n logad logam logan logam logan nlogam 3 对数函数的图象与性质 0 r 1 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 y logax y x 2 已知x y为正实数 则 a 2lgx lgy 2lgx 2lgyb 2lg x y 2lgx 2lgyc 2lgx lgy 2lgx 2lgyd 2lg xy 2lgx 2lgy解析 2lg xy 2 lgx lgy 2lgx 2lgy 故选d d d c 4 对数运算的一般思路 1 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后顺用对数的运算性质化简合并 2 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 一对数的运算 b 2 二对数函数的图象及应用 在识别函数图象时 要善于利用已知函数的性质 函数图象上的特殊点 与坐标轴的交点 最高点 最低点等 排除不符合要求的选项 在研究方程的根时 可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标 通过研究两个函数图象得出方程根的关系 d a 三对数函数的性质及应用 1 对数值大小比较的主要方法 化同底数后利用函数的单调性 化同真数后利用图象比较 借用中间量 0或1等 进行估值比较 2 解决不等式有解或恒成立问题的方法 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题 可借助函数图象解决 具体做法为 对不等式变形 使不等号两边对应两函数f x g x 在同一坐标系下作出两函数y f x 及y g x 的图象 比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况 a d 其中真命题是 a b c d 解析 根据指数函数的图象和性质 可知 是错误的 是正确的 故选c c 2 已知函数y lg a2 1 x2 2 a 1 x 3 的值域为r 则实数a的取值范围是 a 2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 1 解析 函数的值域为r 只需满足u a2 1 x2 2 a 1 x 3能取得 0 的所有实数 所以当a 1时 不合题意 当a 1时 u 4x 3成立 当a2 1 0时 4 a 1 2 12 a2 1 0 解得 2 a 1 综上 2 a 1 b 3 f x lo
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