ch 1 作业答案.pdf

1 1 设表示所有次数小于或等于设表示所有次数小于或等于 4 的实系数的实系数 多项式组成的线性空间多项式组成的线性空间求多项式求多项式 4 R x 多项式组成的线性空间多项式组成的线性空间 求多项式求多项式 3 12p xx 在基底下的坐标 在基底下的坐标 23 1 1 1 1 xxx 解解 2 1 1 1 1 1 2 p p xppxx 3 2 1 1 3 p x 3 所以所求坐标为所以所求坐标为 3 6 6 2 2 2 设是 设是n 维线性空间维线性空间V 的一个线性变换 对某个的一个线性变换 对某个 有有试证试证 V 1 0 0 kk 有有试证试证 V 1 0 0 kk 21 k 线性无关 线性无关 证证 假设存在常数使得 假设存在常数使得011 k l ll 两边同时两边同时作线性变换作线性变换 即作即作次变换次变换 21 0121 0 k k llll 1k 1k 两边同时两边同时作线性变换作线性变换 即作即作次变换次变换 1122 0121 0 kkkk k llll 1k 0121 k k122kkk 0 k 122 121 0 kkk k lll 1 0 k 1 0 0 k l 0l 1 0 k 0 0 l 21 0 k lll 121 0 k lll 两边同时作线性变换两边同时作线性变换 可可得得以此类推以此类推 2k 1 0 l 两边同时作线性变换两边同时作线性变换 可可得得以此类推以此类推 可得由线性无关的定义 可知可得由线性无关的定义 可知 1 21 0 k ll 21k 线性无关 线性无关 21 k 3试试证证 trtr 1 2 kkm nn m ABBAACBCk 3 试试证证 证 证 tr mn ikki ABa b tr nm jllj b aBA 11ik trtr k ABABABA B 11 jj jl trtr ABABABA B trtr kB ABABABA 4试证试证是是A的特征值的特征值k n kk 4 试证试证 是是A的特征值的特征值 k 是一正整数 是一正整数 1 tr kk ii i A 证证 设是 设是A的特征值 的特征值 x是相应的是相应的 特征向量特征向量则则 1 2 i in i Axx 特征向量特征向量 则则 i Axx 22 iii A xA AxAxAxx 同理可得 从而归纳同理可得 从而归纳 可可得得所以所以 3222 ii A xA A xAxx 1 2 kk A xxin 可可得得所以所以 1 2 i A xxin 1 2 k i in 是的是的n个特征值 从而个特征值 从而 k A 1 tr n kk i i A 5 设设试证试证 A的特征值只能是的特征值只能是0或或1 2 AA 5 设设试证试证 A的特征值只能是的特征值只能是0或或1 证证 设设是是A的特征值的特征值 x是相应的特征向量是相应的特征向量 证证 设设是是A的特征值的特征值 x是相应的特征向量是相应的特征向量 则则 因为因为所以所以从而从而 Axx 22 A xA AxAxAxx 2 AA 22 xA xAxx 因为因为所以所以从而