高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性课件 文 北师大版.ppt

3 2导数的应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是增加的 如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是减少的 1 函数的单调性 知识梳理 2 函数的极值如果函数y f x 在区间 a x0 上是增加的 在区间 x0 b 上是减少的 则x0是 f x0 是 如果函数y f x 在区间 a x0 上是减少的 在区间 x0 b 上是增加的 则x0是 f x0 是 极大值点 极大值 极小值点 极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 f a f b f a f b 极值 极值 端点 1 在某区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间上为增 减 函数的充分不必要条件 2 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是对任意x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 上的任何子区间内都不恒为零 3 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若函数f x 在 a b 内是增加的 那么一定有f x 0 2 如果函数f x 在某个区间内恒有f x 0 则f x 在此区间内没有单调性 3 函数的极大值不一定比极小值大 4 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 6 三次函数在r上必有极大值和极小值 1 教材改编 f x x3 6x2的单调递减区间为a 0 4 b 0 2 c 4 d 0 考点自测 答案 解析 f x 3x2 12x 3x x 4 由f x 0 得0 x 4 所以递减区间为 0 4 2 如图是函数y f x 的导函数y f x 的图像 则下面判断正确的是a 在区间 2 1 上f x 是增加的b 在区间 1 3 上f x 是是减少的c 在区间 4 5 上f x 是增加的d 当x 2时 f x 取到极小值 答案 解析 在 2 1 上 导函数的符号有正有负 所以函数f x 在这个区间上不是单调函数 同理 函数在 1 3 上也不是单调函数 在x 2的右侧 函数在 2 4 上是减少的 所以当x 2时 f x 取到极大值 在 4 5 上导函数的符号为正 所以函数在这个区间上是增加的 3 已知定义在实数集r上的函数f x 满足f 1 3 且f x 的导数f x 在r上恒有f x 2 x r 则不等式f x 2x 1的解集为a 1 b 1 c 1 1 d 1 1 答案 解析 令g x f x 2x 1 g x f x 21 故选a 4 函数f x x lnx的单调递减区间为a 0 1 b 0 c 1 d 0 1 函数的定义域是 0 答案 解析 令f x 0 得0 x 1 所以单调递减区间是 0 1 5 设a r 若函数y ex ax有大于零的极值点 则实数a的取值范围是 答案 解析 1 y ex ax y ex a 函数y ex ax有大于零的极值点 则方程y ex a 0有大于零的解 x 0时 ex 1 a ex 1 几何画板展示 题型分类深度剖析 第1课时导数与函数的单调性 题型一不含参数的函数的单调性 例1 1 函数y x2 lnx的递减区间为a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 答案 解析 令y 0 得0 x 1 递减区间为 0 1 2 已知定义在区间 上的函数f x xsinx cosx 则f x 的递增区间是 答案 解析 f x sinx xcosx sinx xcosx 令f x xcosx 0 思维升华 确定函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为递减区间 跟踪训练1 1 函数y 4x2 的单调增区间为 答案 解析 2 已知函数f x xlnx 则f x a 在 0 上递增b 在 0 上递减c 在 0 上递增d 在 0 上递减 答案 解析 因为函数f x xlnx 定义域为 0 所以f x lnx 1 x 0 题型二含参数的函数的单调性 例2已知函数f x x3 x2 ax 1 a r 求函数f x 的单调区间 解答 f x x2 2x a开口向上 4 4a 4 1 a 当1 a 0 即a 1时 f x 0恒成立 f x 在r上是增加的 当1 a 0 即a 1时 令f x 0 综上所述 当a 1时 f x 在r上是增加的 思维升华 1 研究含参数的函数的单调性 要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 2 划分函数的单调区间时 要在函数定义域内讨论 还要确定导数为0的点和函数的间断点 3 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性 如f x x3 f x 3x2 0 f x 0在x 0时取到 f x 在r上是增函数 跟踪训练2讨论函数f x a 1 lnx ax2 1的单调性 解答 几何画板展示 f x 的定义域为 0 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上是增加的 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上是减少的 题型三已知函数单调性求参数 例3 2016 西安模拟 已知函数f x lnx g x ax2 2x a 0 1 若函数h x f x g x 存在递减区间 求a的取值范围 解答 h x lnx ax2 2x x 0 所以h x ax 2 由于h x 在 0 上存在递减区间 所以a 1 2 若函数h x f x g x 在 1 4 上递减 求a的取值范围 解答 由h x 在 1 4 上是减少的 得 几何画板展示 引申探究1 本例 2 中 若函数h x f x g x 在 1 4 上是增加的 求a的取值范围 解答 由h x 在 1 4 上是增加的 得当x 1 4 时 h x 0恒成立 a 1 即a的取值范围是 1 2 本例 2 中 若h x 在 1 4 上存在递减区间 求a的取值范围 解答 h x 在 1 4 上存在递减区间 则h x 0在 1 4 上有解 a 1 即a的取值范围是 1 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为零 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 3 函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 跟踪训练3已知函数f x exlnx aex a r 1 若f x 在点 1 f 1 处的切线与直线y x 1垂直 求a的值 解答 2 若f x 在 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 解答 几何画板展示 若f x 为减函数 则f x 0在x 0时恒成立 由g x 0 得x 1 由g x 0 得0 x 1 故g x 在 0 1 上为减函数 在 1 上为增函数 此时g x 的最小值为g 1 1 但g x 无最大值 且无趋近值 故f x 不可能是减函数 若f x 为增函数 由上述推理可知此时a 1 故实数a的取值范围是 1 典例 12分 已知函数f x lnx g x f x ax2 bx 其中函数g x 的图像在点 1 g 1 处的切线平行于x轴 1 确定a与b的关系 2 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 用分类讨论思想研究函数的单调性 思想与方法系列5 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论 常见的分类讨论标准有以下几种可能 方程f x 0是否有根 若f x 0有根 求出根后判断其是否在定义域内 若根在定义域内且有两个 比较根的大小是常见的分类方法 思想方法指导 规范解答 解 1 依题意得g x lnx ax2 bx 由函数g x 的图像在点 1 g 1 处的切线平行于x轴得g 1 1 2a b 0 b 2a 1 4分 函数g x 的定义域为 0 由g x 0 得01 6分 综上可得 当a 0时 函数g x 在 0 1 上是增加的 在 1 上是减少的 课时作业 1 函数f x x 3 ex的递增区间是a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 函数f x x 3 ex的导数为f x x 3 ex ex x 3 ex x 2 ex 由函数导数与函数单调性的关系 得当f x 0时 函数f x 是增加的 此时由不等式f x x 2 ex 0 解得x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知函数f x x3 ax 4 则 a 0 是 f x 在r上递增 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 故 a 0 是 f x 在r上递增 的充分不必要条件 3 已知f x 1 x sinx 则f 2 f 3 f 的大小关系正确的是a f 2 f 3 f b f 3 f 2 f c f 2 f f 3 d f f 3 f 2 答案 解析 因为f x 1 x sinx 所以f x 1 cosx 当x 0 时 f x 0 所以f x 在 0 上是增加的 所以f f 3 f 2 故选d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知函数f x x 在 1 上是增加的 则实数a的取值范围是a 1 b 0 0 1 c 0 1 d 0 1 答案 解析 由于f x 在 1 上是增加的 则f x 0在 1 上恒成立 由于当x1 则有 1 解得a 1或a 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 5 2016 中山模拟 已知定义在r上的函数f x 其导函数f x 的大致图像如图所示 则下列叙述正确的是a f b f c f d b f b f a f e c f c f b f a d f c f e f d 答案 解析 依题意得 当x c 时 f x 0 所以函数f x 在 c 上是增加的 因为af b f a 因此c正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2017 九江市武宁一中月考 已知定义在r上的函数f x 和g x 分别满足f x e2x 2 x2 2f 0 x g x 2g x g 2017 c g 2015 f 2 g 2017 答案 解析 f x f 1 e2x 2 2x 2f 0 f 1 f 1 2 2f 0 f 0 1 将f 0 代入f x 可得f 1 2e2 f x e2x x2 2x f 2 e4 又由g x 2g x 2017 g 2015 e4 g 2017 即g 2015 f 2 g 2017 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 青岛模拟 若函数f x x3 bx2 cx d的减区间为 1 3 则b c 答案 解析 12 f x 3x2 2bx c 由题意知 1 x 3是不等式3x2 2bx c 0的解集 1 3是f x 0的两个根 b 3 c 9 b c 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x x1 答案 解析 即函数f x 在r上是减少的 f x2 1 即x 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 若函数f x 2x3 3mx2 6x在区间 2 上为增函数 则实数m的取值范围为 答案 解析 f x 6x2 6mx 6 当x 2 时 f x 0恒成立 当x 2时 g x 0 即g x 在 2 上是增加的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求a的值 解答 2 求函数f x 的单调区间 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令f x 0 解得x 1或x 5 因为x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 综上 f x 的增区间为 5 减区间为 0 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知函数f x lnx g x ax b 1 若f x 与g x 在x 1处相切 求g x 的表达式 解答 由已知得f x f 1 1 a a 2 又 g 1 0 a b b 1 g x x 1 2 若 x f x 在 1 上是减函数 求实数m的取值范围 解答 即x2 2m 2 x 1 0在 1 上恒成立 故实数m的取值范围是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求函数f x 的单调区间 解答 f