高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 53 立体几何综合课件 文.ppt

第九章立体几何初步 第53课立体几何综合 课前热身 1 必修2p56练习2改编 如图 在正方体abcda1b1c1d1中 e是棱dd1上一点 若bd1 平面aec 则点e为dd1的 解析 连接bd交ac于点o 连接oe 因为bd1 平面aec 平面aec 平面bdd1 eo 所以bd1 oe 又o为bd中点 所以e是dd1的中点 激活思维 中点 第1题 2 必修2p49练习4改编 如图 在长方体abcda1b1c1d1中 若ab ad 3cm aa1 2cm 则四棱锥abb1d1d的体积为 cm3 第2题 6 3 必修2p40练习3改编 如图 若六棱锥pabcdef的底面是正六边形 pa 平面abc pa 2ab 则下列命题中正确的是 填序号 pa ad 平面abc 平面pbc 直线bc 平面pae 直线pd与平面abc所成的角为30 解析 中 因为pa 平面abc ad 平面abc 所以pa ad 故 正确 中两平面不垂直 故 错误 中 ad与平面pae相交 bc ad 故 错误 中 pd与平面abc所成的角为45 故 错误 第3题 4 必修2p40练习5改编 已知a b是两条不同的直线 是两个不重合的平面 给出下列四个命题 若a b a b 则b 若a a 则 若a 则a 或a 若a b a b 则 其中正确命题的个数为 4 解析 对于 因为a b a 所以b 或b 又b 所以b 故 正确 对于 因为a 所以存在直线a1 且a1 a 又a 所以a1 所以 故 正确 对于 因为a 所以a 或a 故 正确 对于 因为a b a 所以b 或b 又因为b 所以 故 正确 综上 正确命题的个数为4 空间中的平行和垂直关系可以按照下表进行类比 知识梳理 课堂导学 2016 徐州 连云港 宿迁三检 如图 1 在直三棱柱abca1b1c1中 ab ac m n p分别为bc cc1 bb1的中点 1 求证 平面amp 平面bb1c1c 解答 因为abca1b1c1是直三棱柱 所以bb1 底面abc 又am 底面abc 所以bb1 am 因为m为bc中点 且ab ac 所以am bc 平行和垂直的综合问题 例1 例1 1 又bb1 bc b bb1 平面bb1c1c bc 平面bb1c1c 所以am 平面bb1c1c 因为am 平面apm 所以平面apm 平面bb1c1c 2 求证 a1n 平面amp 解答 如图 2 取c1b1的中点d 连接a1d dn dm b1c 在直三棱柱abca1b1c1中 d m分别为c1b1 cb的中点 所以dm cc1且dm cc1 所以dm aa1且dm aa1 所以四边形a1amd为平行四边形 所以a1d am 又a1d 平面apm am 平面apm 所以a1d 平面apm 例1 2 因为d n分别为c1b1 cc1的中点 所以dn b1c 又p m分别为bb1 cb的中点 所以mp b1c 所以dn mp 因为dn 平面apm mp 平面apm 所以dn 平面apm 又a1d dn d a1d dn 平面a1dn 所以平面a1dn 平面apm 因为a1n 平面a1dn 所以a1n 平面apm 精要点评 1 空间位置关系的判定主要包括平行和垂直两个方面 主要是线线 线面 面面的相互转化以及空间问题转化为平面问题的降维思想的运用 2 条件与结论之间如何运用定理进行转化是关键 空间中线线平行和垂直的常见证法要熟悉 2016 南通一调 如图 1 在直四棱柱abcda1b1c1d1中 底面abcd是菱形 e是a1c1的中点 1 求证 be ac 解答 如图 2 在直四棱柱abcda1b1c1d1中 连接bd交ac于点f 连接b1d1交a1c1于点e 变式 变式 1 变式 2 因为四边形abcd是菱形 所以bd ac 因为四棱柱abcda1b1c1d1为直四棱柱 所以bb1 平面abcd 又ac 平面abcd 所以bb1 ac 又bd bb1 b bd 平面b1bdd1 bb1 平面b1bdd1 所以ac 平面b1bdd1 因为be 平面b1bdd1 所以be ac 2 求证 be 平面acd1 解答 连接d1f 因为四棱柱abcda1b1c1d1为直棱柱 所以四边形b1bdd1为矩形 又e f分别是b1d1 bd的中点 所以bf d1e 且bf d1e 所以四边形bed1f是平行四边形 所以be d1f 又d1f 平面acd1 be 平面acd1 所以be 平面acd1 如图 在直四棱柱abcda1b1c1d1中 db bc db ac 点m是棱bb1上一点 1 求证 md ac 思维引导 1 通过证明ac 平面bb1d1d 来证明ac dm 2 通过构造与平面cc1d1d垂直的直线 进行平移寻找所求的点的正确位置 解答 连接b1d1 因为bb1 平面abcd ac 平面abcd 所以bb1 ac 探索性问题 例2 例2 又因为bd ac 且bd bb1 b bd bb1 平面b1bdd1 所以ac 平面b1bdd1 因为md 平面b1bdd1 所以md ac 2 试确定点m的位置 使得平面dmc1 平面cc1d1d 解答 当m为棱bb1的中点时 可使得平面dmc1 平面cc1d1d 取dc的中点n d1c1的中点n1 连接nn1交dc1于o 连接om 因为n是dc的中点 bd bc 所以bn dc 又因为平面abcd 平面dcc1d1 dc 平面abcd 平面dcc1d1 bn 平面abcd 所以bn 平面dcc1d1 又因为o是nn1的中点 所以bm on 且bm on 即四边形bmon是平行四边形 所以bn om 所以om 平面cc1d1d 又因为om 平面dmc1 所以平面dmc1 平面cc1d1d 精要点评 探求符合要求的点或线的问题时 可以先假设存在 即增加条件后再证明 或通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线 通过对其进行平移 来寻找正确的结果 然后再反过来证明 如图 1 三棱柱abca1b1c1的底面是边长为2的正三角形 侧棱a1a 底面abc 点e f分别是棱cc1 bb1上的点 点m是线段ac上的动点 ec 2fb 2 问 当点m在什么位置时 bm 平面aef 变式 变式 1 解答 如图 2 取ae的中点o 连接of 过点o作om ac于点m 变式 2 因为侧棱a1a 底面abc aa1 平面a1acc1 所以侧面a1acc1 底面abc 又平面abc 平面acc1a1 ac om ac 所以om 底面abc 又因为ec 2fb 2 所以四边形ombf为矩形 故bm of 又bm 平面aef of 平面aef 所以bm 平面aef 此时点m为ac的中点 在直角梯形abcd中 ab cd ab 2bc 4 cd 3 e为ab的中点 过点e作ef cd 垂足为f 图 1 将此梯形沿ef折成一个直二面角aefc 图 2 翻折问题 例3 图 1 图 2 1 求证 bf 平面acd 思维引导 先分析翻折前后图形中线段长度变化以及线线位置关系的变化 再利用定理证明位置关系并计算体积 解答 如图 连接ec交bf于点o 取ac的中点p 连接po pd 所以df po 且df po 所以四边形dpof为平行四边形 所以fo pd 即bf pd 又pd 平面acd bf 平面acd 所以bf 平面acd 例3 2 求多面体adfcbe的体积 解答 因为二面角aefc为直二面角 且ae ef 所以ae 平面bcfe 又bc 平面bcfe 所以ae bc 因为bc be be ae e be ae 平面aeb 所以bc 平面aeb 所以bc是三棱锥cabe的高 同理可证cf是四棱锥caefd的高 所以多面体adfcbe的体积 精要点评 对于翻折问题通常在折痕的同侧其位置关系和线的长度 角的大小不变 异侧就会发生变化 由于图形被翻折后从平面图形变成了空间图形 因此很多原始位置关系和平面几何条件都不能使用 请你设计一个包装盒 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去如图 1 所示的阴影部分的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于图中的点p 正好形成一个如图 2 所示的正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上且e f是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb xcm 立体几何模型实际应用问题 例4 图 1 图 2 例4 1 若广告商要求包装盒侧面积s 单位 cm2 最大 试问 x应取何值 思维引导 本题求解的前提是找到盒子的底面边长与高 继而求得底面面积 再求其体积 而解题的关键是正确地求得 盒子 体积的函数式 因为题中涉及了三次函数的最值 所以要考虑结合导数求最值 解答 根据题意有s 602 4x2 60 2x 2 240 x 8x2 8 x 15 2 1800 0 x 30 所以x 15时包装盒侧面积s最大 答 当x 15时 包装盒的侧面积最大 2 若广告商要求包装盒容积v 单位 cm3 最大 试问 x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 当00 v单调递增 当20 x 30时 v 0 v单调递减 精要点评 1 本题主要考查空间想象能力 数学阅读能力 运用数学知识解决实际问题的能力 建立数学函数模型求解问题的能力等 属于中档题 2 合理 正确地构建函数式是解决此类问题的关键 在给出函数式时要考虑到其定义域 3 涉及求高次函数的最值时要考虑结合导数求最值 如图 四边形abcd为直角梯形 c cda 90 ad 2bc 2cd p为平面abcd外一点 且pb bd 1 求证 pa bd 解答 因为四边形abcd为直角梯形 又pb bd ab pb b ab pb 平面pab 所以bd 平面pab 因为pa 平面pab 所以pa bd 备用例题 备用例题 2 若pc与cd不垂直 求证 pa pd 解答 假设pa pd 取ad的中点n 连接pn bn 则pn ad bn ad 因为pn bn n pn bn 平面pbn 所以ad 平面pnb 所以pb ad 又pb bd bd ad d bd ad 平面abcd 所以pb 平面abcd 因为cd 平面abcd 所以pb cd 又因为bc cd bc pb b bc pb 平面pbc 所以cd 平面pbc 又pc 平面pbc 所以cd pc 这与已知条件pc与cd不垂直矛盾 所以pa pd 课堂评价 1 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中正确的命题是 填序号 解析 中没有说明是两条相交直线 故 错误 由平面垂直的判定定理可得 正确 中两条直线可以相交也可以异面 故 错误 由平面垂直的性质定理可得 正确 2 一块边长为10cm的正方形铁片按如图 1 所示将阴影部分裁下 然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面 以它们的公共顶点p为顶点 加工成一个如图 2 所示的正四棱锥容器 则当x 6cm时 该容器的容积为 cm3 图 1 图 2 第2题 48 解析 由题知ab 6cm 所以底面abcd的面积为36cm2 结合图形可求得正四棱锥的高为4cm 所以该容器的容积为48cm3 第3题 90 解析 因为ab ad 1 bd 所以ab ad 所以a b a d 又因为平面a bd 平面bcd 平面a bd 平面bcd bd cd bd cd 平面bcd 所以cd 平面a bd 因为a b 平面a bd 所以cd a b 又cd a d d cd a d 平面a cd 所以a b 平面a cd 因为a c 平面a cd 所以a b a c 所以 ba c 90 4 如图 在直三棱柱abca1b1c1中 d e分别是棱bc ab的中点 点f在棱cc1上 已知ab ac aa1 3 bc cf 2 1 求证 c1e 平面adf 解答 1 连接ce交ad于点o 连接of 因为ce ad为 abc的中线 所以o为 abc的重心 因为of 平面adf c1e 平面adf 所以c1e 平面adf 第4题 2 在棱bb1上是否存在一点m 满足平面cam 平面adf 若存在 求出bm的长 若不存在 请说明理由 解答 当bm 1时 平面cam 平面adf 连接cm 因为ab ac d为