高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.1 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的进一步认识课件 理 苏教版.ppt

14 1几何证明选讲 第1课时相似三角形的进一步认识 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在任一条 与这组平行线相交的 直线上截得的线段也 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必 2 平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 知识梳理 相等 平分另一腰 平分第三边 成比例 成比例 3 相似三角形的判定及性质 1 判定定理 两角 两边 夹角 三边 2 性质定理 相似三角形的对应线段的比等于 面积比等于 相似比 相似比的平方 4 直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该 斜边上的高的平方等于 直角边在斜边上的射影与斜边的 乘积 两条直角边在斜边上射影的乘积 考点自测 1 2016 南京模拟 如图 在四边形abcd中 abc bad 求证 ab cd 证明 由 abc bad得 acb bda 故a b c d四点共圆 从而 cab cdb 由 abc bad得 cab dba 因此 dba cdb 所以ab cd 2 如图 bd ae c 90 ab 4 bc 2 ad 3 求ec的长度 解答 3 2016 镇江模拟 如图 在 abc中 d是ac的中点 e是bd的中点 ae交bc于点f 求的值 解答 题型分类深度剖析 题型一平行截割定理的应用 例1如图 在四边形abcd中 ac bd交于点o 过点o作ab的平行线 与ad bc分别交于点e f 与cd的延长线交于点k 求证 ko2 ke kf 证明 当条件中给出平行线时 应优先考虑平行线分线段成比例定理 在有关比例的计算与证明题中 常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题 作平行线常用的方法有利用中点作中位线 利用比例线段作平行线等 思维升华 跟踪训练1 1 如图 在梯形abcd中 ad bc bd与ac相交于点o 过点o的直线分别交ab cd于e f 且ef bc 若ad 12 bc 20 求ef的长度 解答 ad bc ef oe of 15 2 如图 在 abc中 de bc ef cd 若bc 3 de 2 df 1 求ab的长 解答 de bc 题型二相似三角形的判定与性质 例2 2016 江苏 如图 在 abc中 abc 90 bd ac d为垂足 e是bc的中点 求证 edc abd 证明 由bd ac 可得 bdc 90 则 edc c 由 bdc 90 得 c dbc 90 又 abc 90 则 abd dbc 90 abd c 又 edc c edc abd 1 判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点 灵活选择判定定理 在一个题目中 相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 也可间接证明线段相等 思维升华 解答 跟踪训练2 1 如图 ab与cd相交于点e 过e作bc的平行线与ad的延长线相交于点p 已知 a c pd 2da 2 求pe的长 bc pe ped c a pde pea 又 pd 2da 2 pa pd da 3 解答 2 如图 四边形abcd中 df ab 垂足为f df 3 af 2fb 2 延长fb到e 使be fb 连结bd ec 若bd ec 求四边形abcd的面积 如图 过点e作en db交db的延长线于点n 在rt dfb中 df 3 fb 1 则bd 由rt dfb rt enb 所以en为 bcd底边bd上的高 题型三射影定理的应用 例3 2016 苏州调研 如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac的长 解答 在 abc中 设ac为x ab ac af bc 又fc 1 根据射影定理 得ac2 fc bc 即bc x2 再由射影定理 得af2 bf fc bc fc fc 在 bdc中 过d作de bc于e 在rt dec中 de2 ec2 dc2 1 在使用直角三角形射影定理时 要学会将 乘积式 转化为相似三角形中的 比例式 2 证题时 作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法 思维升华 跟踪训练3 1 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab于d 且ad bd 9 4 求ac bc 解答 ac2 ad ab bc2 bd ab ac2 bc2 ad bd 9 4 ac bc 3 2 2 已知圆的直径ab 13 c为圆上一点 过c作cd ab于d ad bd 若cd 6 求ad的长 解答 课时作业 1 2016 苏州一模 如图 oab是等腰三角形 p是底边ab延长线上一点 且po 3 pa pb 4 求腰长oa的长度 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图 作od ap 垂足为d 则po2 pd2 ob2 bd2 所以po2 ob2 pd2 bd2 因为ad bd 所以pd2 bd2 pd2 ad2 pd ad pd ad pa pb 4 所以po2 ob2 4 所以ob2 9 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2016 徐州模拟 如图 b d ae bc acd 90 且ab 6 ac 4 ad 12 求ae的长 由于 acd aeb 90 b d abe adc 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 如图 rt abc中 bac 90 ad是斜边bc上的高 若ab ac 2 1 求ad bc bac 90 ad bc ac2 cd bc 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 在 abc中 acb 90 cd ab于d ad bd 2 3 求 acd与 cbd的相似比 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示 在rt acb中 cd ab 由射影定理得 cd2 ad bd 又 ad bd 2 3 令ad 2x 则bd 3x x 0 又 adc bdc 90 acd cbd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 如图所示 在 abc中 cab 90 ad bc于点d be是 abc的角平分线 交ad于点f 求证 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 be是 abc的角平分线 在rt abc中 由射影定理知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 如图所示 在rt abc中 acb 90 m是bc的中点 cn am 垂足是n 求证 ab bm am bn 证明 cm2 mn am 又 m是bc的中点 又 bmn amb amb bmn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 如图所示 平行四边形abcd中 e是cd延长线上的一点 be与ad交于点f de cd 1 求证 abf ceb 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 若 def的面积为2 求平行四边形abcd的面积 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 四边形abcd是平行四边形 ad bc ab cd def ceb def abf s def 2 s ceb 18 s abf 8 s四边形bcdf s ceb s def 16 s四边形abcd s四边形bcdf s abf 16 8 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 如图 在平行四边形abcd中 过点b作be cd 垂足为e 连结ae f为ae上一点 且 bfe c 1 求证 abf ead ab cd baf aed 又 bfe c bfe bfa c ade bfa ade abf ead 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 若 bae 30 ad 3 求bf的长 bae 30 aeb 60 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 如图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 1 求证 edm fbm 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e是ab的中点 ab 2eb ab 2cd cd eb 又 ab cd 四边形cbed是平行四边形 cb de edm fbm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 若db 9 求bm 解答 f是bc的中点 de 2bf dm 2bm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10