高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.2 直接证明与间接证明课件 文 苏教版.ppt

12 2直接证明与间接证明 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直接证明 1 综合法 定义 从出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法常称为综合法 知识梳理 已知条件 思维过程 由因导果 2 分析法 定义 从出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止 这种证明方法常称为分析法 思维过程 执果索因 问题的结论 2 间接证明反证法 要从否定结论开始 经过正确的推理 导致逻辑矛盾 从而达到新的否定 即肯定原命题 这个过程包括下面3个步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原结论的反面为真 2 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 3 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 考点自测 1 2016 扬州质检 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 答案 解析 cn 1 cn 由条件得 则cn随n的增大而减小 cn 1 cn 2 用反证法证明命题 a b n 若ab不能被5整除 则a与b都不能被5整除 时 假设的内容应为 答案 解析 a b至少有一个能被5整除 都不能 的否定为 至少有一个能 故假设的内容应为 a b至少有一个能被5整除 3 要证a2 b2 1 a2b2 0只要证明 填正确的序号 2ab 1 a2b2 0 答案 解析 a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 答案 解析 a 0 b 0且a b 5 2016 盐城模拟 如果函数f x 在区间d上是凸函数 则对于区间d内的任意x1 x2 xn 有 f 已知函数y sinx在区间 0 上是凸函数 则在 abc中 sina sinb sinc的最大值为 答案 解析 f x sinx在区间 0 上是凸函数 且a b c 0 题型分类深度剖析 题型一综合法的应用 证明 解答 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 思维升华 跟踪训练1若a b c是不全相等的正数 求证 证明 a b c 0 由于a b c是不全相等的正数 上述三个不等式中等号不能同时成立 题型二分析法的应用 证明 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 1 证明 由于x1 x2 r时 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 思维升华 请你根据上述特点 提炼出一个一般性命题 写出已知 求证 并用分析法加以证明 解答 只需证a b m b a m 只需证am bm 只需证a b 由已知得a b成立 题型三反证法的应用 命题点1证明否定性命题 例3 2016 连云港模拟 设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 解答 设 an 的前n项和为sn 当q 1时 sn a1 a1 a1 na1 当q 1时 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qsn a1q a1q2 a1qn 得 1 q sn a1 a1qn 2 设q 1 证明 数列 an 1 不是等比数列 证明 假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 命题点2证明存在性问题例4已知四棱锥s abcd中 底面是边长为1的正方形 又sb sd sa 1 1 求证 sa 平面abcd 证明 由已知得sa2 ad2 sd2 sa ad 同理sa ab 又ab ad a ab 平面abcd ad 平面abcd sa 平面abcd 2 在棱sc上是否存在异于s c的点f 使得bf 平面sad 若存在 确定f点的位置 若不存在 请说明理由 解答 假设在棱sc上存在异于s c的点f 使得bf 平面sad bc ad bc 平面sad bc 平面sad 而bc bf b 平面fbc 平面sad 这与平面sbc和平面sad有公共点s矛盾 假设不成立 不存在这样的点f 使得bf 平面sad 命题点3证明唯一性命题例5已知a 0 证明关于x的方程ax b有且只有一个根 证明 假设x1 x2是它的两个不同的根 即ax1 b ax2 b 由 得a x1 x2 0 因为x1 x2 所以x1 x2 0 所以a 0 这与已知矛盾 故假设错误 所以当a 0时 方程ax b有且只有一个根 应用反证法证明数学命题 一般有以下几个步骤第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相反的假设綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知事实矛盾 与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 思维升华 跟踪训练3已知二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象与x轴有两个不同的交点 若f c 0 且00 证明 f x 的图象与x轴有两个不同的交点 f x 0有两个不等实根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0的根 2 试用反证法证明 c 证明 典例 14分 直线y kx m m 0 与椭圆w y2 1相交于a c两点 o是坐标原点 1 当点b的坐标为 0 1 且四边形oabc为菱形时 求ac的长 2 当点b在w上且不是w的顶点时 证明 四边形oabc不可能为菱形 反证法在证明题中的应用 思想与方法系列22 思想方法指导 规范解答 在证明否定性问题 存在性问题 唯一性问题时常考虑用反证法证明 应用反证法需注意 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 正确作出假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 3 利用反证法证明时 一定要回到结论上去 返回 1 解因为四边形oabc为菱形 则ac与ob相互垂直平分 由于o 0 0 b 0 1 2 证明假设四边形oabc为菱形 因为点b不是w的顶点 且ac ob 所以k 0 消y并整理得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 7分 设a x1 y1 c x2 y2 则 因为m为ac和ob的交点 且m 0 k 0 所以oabc不是菱形 与假设矛盾 所以当点b不是w的顶点时 四边形oabc不可能是菱形 14分 返回 课时作业 1 2017 泰州月考 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x2 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 答案 解析 因为 方程x2 ax b 0至少有一个实根 等价于 方程x2 ax b 0有一个实根或两个实根 所以该命题的否定是 方程x2 ax b 0没有实根 方程x2 ax b 0没有实根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若一元二次不等式2kx2 kx 0对一切实数x都成立 则k的取值范围为 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 答案 解析 都大于2 至少有一个大于2 至少有一个不小于2 至少有一个不大于2 当且仅当x y z时等号成立 所以三个数中至少有一个不小于2 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 p2 q2 p q p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 苏州模拟 下列条件 ab 0 ab0 b 0 a 0 b 0 其中能使成立的条件的序号是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 用反证法证明 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理数根 那么a b c中至少有一个是偶数 用反证法证明时 下列假设正确的是 假设a b c都是偶数 假设a b c都不是偶数 假设a b c至多有一个偶数 假设a b c至多有两个偶数 至少有一个 的否定为 都不是 故 正确 答案 解析 7 2016 全国甲卷 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 1和3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由丙说 我的卡片上的数字之和不是5 可知 丙为 1和2 或 1和3 又乙说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 所以乙只可能为 2和3 又甲说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 所以甲只能为 1和3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少 答案 解析 存在一点c 使f c 0 则实数p的取值范围是 若二次函数f x 0在区间 1 1 内恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为m 0 所以1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 10 设f x ax2 bx c a 0 若函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 f x 为偶函数 证明 由函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 可知f x 1 f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 苏州模拟 已知函数f x ax a 1 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 任取x1 x2 1 不妨设x10 a 1 且 0 又 x1 1 0 x2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故函数f x 在 1 上为增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 用反证法证明方程f x 0没有负数根 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 f x 1 x x2 所以f x 1 x x2 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1