高三数学 知识点精要11 数列.doc

2014高三数学知识点精要111、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集n*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知，则在数列的最大项为_（答：）；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为_（答：）；（3）已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；（4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）（答：a） a b c d2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法：或。 公式法：通项；前项和.如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列.提醒：解答题多用定义法.（2）等差数列的通项：或.通项公式是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上. 公差d=是相应直线的斜率.当d0时，数列递增；当d0且q1时，是指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此 的图象是函数y=的图象上的一群孤立点很明显，若0,当q1时，数列递增；当0q1时，数列递减提醒：可用来求公比.如设等比数列中，前项和126，求和公比. （答：，或2）（3）等比数列的前和：如（1）等比数列中，2，s99=77，求（答：44）；（2）的值为_（答：2046）；提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解（4）等比中项：若成等比数列，那么a叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个如已知两个正数的等差中项为a，等比中项为b，则a与b的大小关系为_（答：ab）5.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如（）在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）(2) 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知且，设数列满足，且，则. （答：）；（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 （答：1）(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列这些命题中，真命题的序号是 （答：）6.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如（）已知的前项和满足，求（答：）；（）数列满足，求解：（i）令时，（ii） （1）（2）（1）（2）得：，即所以提醒：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（只有时，才有，当时，；注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求（答：）已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_（答：）若求用累加法：。如已知数列满足，则=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求（答：）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如：（为p,q为常数且）的数列（）可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出（）可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用迭代或迭加求出（） ,先用累加法求再求如已知，求（答：）；（）形如（为常数）也可通过类似方式来求得.更一般地，递推数列an=kan1+f（n）（k0,k1）（f（n）为等比或等差）还可由an=kan1+b派生出an+1=kan+b，两式相减得：an+1-an=k（an- an-1）依据等比数列的定义求出其通项公式（这是二阶线性递归数列an+1+pan+qan1=0的解法），从而形如的数列可变形为就是则可从，解得于是是公比为的等比数列.如（）数列中，求数列的通项公式。解：在两边减去得是以为首项，以为公比的等比数列，令上式，再把个等式累加得:=.（）已知，求（答：）；（）形如（）（为常数且）的递推数列都可以用倒数法求通项。可化为=求出的表达式，再求如（）已知，求（答：）；（）已知数列满足=1，求（答：）这种类型还有如：可采用取倒数方法转化成为形式解决；又如已知数列中且，求数列 的通项公式可采用两边取对数方法即则数列是以为首项，为公比的等比数列。（）猜想归纳证明（数学归纳法）与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数nn0 (kn0)时成立；(2)假设n =k时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。注：（1）数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。（2）在运用数学归纳法时，要注意起点 n，并非一定取 1，也可能取 0，2 等值，要看清题目 .（3）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由 k 到 k+ 1 时命题变化情况 .证明时要一凑假设，二凑结论；7.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，.如（1）等比数列的前项和s2，则_（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_（答：）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：（答：）（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 如求证：；已知，则_（答：）一般地，,（an为等差数列）可通过此法来求. 提醒：观察通项、 注意首项、 点清项数；（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）：两边同乘以公比错位相减（但要区分公比是否为1）. 如（1）设为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；）；（2）设函数，数列满足：，求证：数列是等比数列；令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：略；，当时，；当时，）（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；， ；.如（1）求和： （答：）；（2）在数列中，且s，则n_（答：99）；（3）等差数列an的公差d（d0），则.的求和也可用此法.（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如（）求数列14，25，36，前项和= （答：）；（）求和： （答：）8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(2)利率问题：单利问题