探究线性系统的可控性.doc

中国石油大学（北京）自动化系探究线性定常连续系统的可控性摘要线性系统的可控性是系统的一种重要特性，是线性系统理论中一个基本而重要的概念。本文就线性定常连续系统的状态、系统以及输出可控性作出严格详细的定义，再分别介绍了多种实用判据，最后就可控规范型作了简要介绍。本文对可控性理解深入全面，对读者有较好的引导作用。关键词：线性定常连续系统 可控性Summary Controllability of linear systems is an important characteristic of the system is linear system theory in a basic and important concept. In this paper, a continuous linear time-invariant systems, the system and the output controllability detailed and stringent definition, and then introduced a variety of practical criteria, and finally made a brief presentation on the controllable canonical form. In this paper, controllable depth and comprehensive understanding of the readers have a better guide. Keywords: linear time-invariant continuous system controllability目录1.问题的提出- 3 -2. 线性定常连续系统状态可控性的定义- 4 -2.1 状态可控性定义- 4 -2.2 系统可控性定义- 4 -2.3 可控性定义在相平面说明：- 5 -2.4 可控性定义综述- 5 -3. 线性定常连续系统状态可控性的判据- 6 -3.1 可控性秩判据- 6 -3.2 约当规范型判据- 6 -4. 线性定常连续系统输出可控性- 8 -4.1 输出可控性的定义- 8 -4.2 输出可控性判据- 8 -5. 线性定常连续系统可控规范型- 10 -6.参考资料：- 11 -1.问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出y(t)的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入u(t)对状态x(t)的控制能力，输出y(t)对状态x(t)的反映能力。它们分别回答：“输入能否控制状态变化”可控性“状态的变化能否由输的出反映出来”可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入u(t)，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入u(t)，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态x(t)的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的y(t)中估计出状态x(t)；如果输出y(t)不能完全反映系统的状态x(t)，那么就无法实现对状态的估计。状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。在此基础上，我们小组研究了线性定常连续可控性的定义和判据。2. 线性定常连续系统状态可控性的定义考虑线性时变系统的状态方程 （2-1）其中，x为n维状态向量；D为p维输入向量；为时间定义区间；和分别为的矩阵.2.1 状态可控性定义&=对于式(2-1)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻和一个无约束的容许控制，使状态由转移到时的,则称 此是在时刻可控的。2.2 系统可控性定义系统可控对于式(2-1)所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻可控的，则称系统在时刻是完全可控的，简称系统在时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。对于式(2-1)所示线性时变系统，取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称为系统是不可控的。2.3 可控性定义在相平面说明：PP3P1P2PnP40x1x2可控状态的图形上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，那么相平面上的P点是可控状态。假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。2.4 可控性定义综述在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点，而终端状态也规定为状态空间中的任意点，这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。于是原可控性定义可表述为：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态转移到零状态，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零初始状态转移到任一指定的非零终端状态，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。3. 线性定常连续系统状态可控性的判据3.1 可控性秩判据线性定常连续系统（2-1）完全可控的充分必要条件是：其中n为矩阵A的维数，称为系统的可控性判别阵。3.2 约当规范型判据（1）对角线规范型判据若矩阵A的特征值是两两相异的，则：由线性变换可将式(2-1)变为对角线规范型 （3-1）系统(9-98)完全可控的充分必要条件是，在式(3-1)中，B不包含元素全为零的行。(2) 约当规范型判据若：矩阵A的特征值为，且则：由线性变换可将式(2-1)化为约当规范型 其中， 而，由的最后一行组成矩阵系统(2-1)完全可控的充分必要条件是，对均为行线性无关。4. 线性定常连续系统输出可控性如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输出可控性。4.1 输出可控性的定义 若在有限时间间隔内，存在无约束分段连续控制函数，能使任意初始输出转移到任意最终输出，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。4.2 输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为 （4-1）式中，u为p维输入向量；y为g维输出向量；x为n维状态向量。状态方程(4-1)的解为则输出不失一般性，令，有令，则有 令矩阵，称为输出可控性矩阵。输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数q，即需要注意的是，状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然的联系。5. 线性定常连续系统可控规范型如果该系统可控则存在非奇异变换使得系统化为下列可控规范型：证明：如果系统可控则令则非奇异。由的定义可得若存在，则两端右乘以b有即于是两端右乘以Ab有即有重复上述过程