高三数学 知识点精析精练14 不等式的应用.doc

2014高三数学知识点精析精练14：不等式的应用【复习要点】不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.【例题】【例1】根据复合函数的单调性得：【例2】 例2、已知函数 （1）判断函数的增减性； （2）若命题为真命题，求实数x的取值范围.解：（1）函数是增函数； （2），必有时，不等式化为，故；当，不等式化为，这显然成立，此时；当时，不等式化为故；综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是【例3】 （1994年)已知函数解： 【例4】 (1995年)设是由正数组成的等比数列，项之和。(1)证明(2)是否存在常数c0,使得成立？并证明你的结论。证明：(i)根据对数函数的单调性，可得即(2)不存在常数c使等式成立。 证法一：因为要使 ；综合上面的证明可见不存在常数 还可以直接用反证法证明： 证法二：假设存在常数c0，使等式能够成立,则有 由(4)可得：由平均值不等式可知【例5】 (1990年)设是任意给定的自然数，且。(1)如果时有意义，求a的取值范围。(2)如果0时成立。解：(i)，； (2)证法一：根据 下面用数学归纳法证之。 a. 设n=2时若 ，即(1)成立。 若 b. 设 证法二：只需证明，【例6】 如图，abc是某屋顶的断面，cdab，横梁ab的长是竖梁cd长的2倍.设计时应使保持最小，试确定d点的位置，并求y的最小值.解：设ad=x，cd=1，则ab=2，bd=2x，（0x2）令；当且仅当时取等号当时，y取得最小值此时答：取ad:db=1:时，y有最小值【例7】 在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液升，搅匀后再倒出溶液升，这叫做一次操作。(i)设第n次操作后容器内溶液的浓度为（每次注入的溶液都是p%）， 计算，并归纳出的计算公式（不要求证明）(ii)设要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知）解：【例8】 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数（万件）近似地满足下列关系：（）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？（）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）解：（）首先，第n个月的月需求量 ， 当时， 令，即 ，解得：， nn， n = 5 ，6 即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件（）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品所以，需且只需：， 又 即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销【例9】 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比adl （）将此枕木翻转90（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为r）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（）由题可设安全负荷为正常数），则翻转90后，安全负荷因为，所以，当时，安全负荷变大；当时，安全负荷变小（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，则，即 枕木长度不变，u=ad2最大时，安全负荷最大 当且仅当，即取，时，u最大， 即安全负荷最大【例10】 现有流量均为300的两条河流a、b会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从a股流入b股100水，经混合后，又从b股流入a股100水并混合问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建构这样的不等关系较为困难为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，a水流和b水流的含沙量则2，0.2，且（）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列由（）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以，由题，令0，且，则的最小值为 。3；提示：，当且仅当即时，上式等号成立，又故此时11某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？解：（）若以1997年为第一年，则第n年该乡从这两家企业获得的利润为 =当且仅当，即n=2时，等号成立，所以第二年（1998年）上交利润最少，利润为960万元。由2000960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题。（）2005年为第9年，该年可从两个企业获得利润所以该乡到2005年底可以达到小康水平.12.如图，假设河的一条岸边为直线mn，又acmn于c，点b、d在mn上。先需将货物从a处运往b处，经陆路ad与水路db.已知ac=10公里，bc=30公里，又陆路单位距离的运费是水路运费的两倍，为使运费最少，d点应选在距离c点多远处?解：设cdx公里，设水路运价每公里为a元，则陆路运价为每公里2a元，运费 (0x30)令, 则, 平方得3x-2zx+(400-z)=0由xr, 得=4z-43(400-z)0由z0 解得z,当且仅当时 因此当时y有最小值，故当公里时，运费最少。注：对于，也可以设x=10tg(0去解。13在交通拥挤及事故多发地段，为确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（公里/小时）的平方与车身长s（米）积的正比例函数，且车距不得小于车身长的一半，现假设车速为50公里/小时的时候，车距恰为车身长。（)试写出d关于v的分段函数式（其中s为常数）；（）问车速多大时，才能使此地段的车流量q= 最大。解：()设d= ，v=50时，d=s，k=，d=，又d=s时，v=，d= ()q= 对于(1)，v=时， 对于(2)，q= v=50时， v=50(公里/小时)14某工厂为某工地生产容器为的无盖圆柱形容器，容器的底面半径为r（米），而且制造底面的材料每平方米为30元，制造容器的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计。制造容器的成本y（元）表示成r的函数；工地要求容器的底面半径r2，3（米），问如何设计容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精确到元）解：容器壁的高为h米，容器的体积为v米。由由 当且仅当。即r=1时，取等号。 由；下面研究函数在上的单调性。设即q（r）在2，3上为增函数。当r=2时，y取得最小值150465（元）。当r=2米，米时，造价最低为465元。15若奇函数f（x）在定义域（-1，1）上是减函数求满足对中的a，求函数的定义域。解： f(x)是奇函数,又f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-