Strongart数学笔记：Differential s in Algebraic Topology读后感.pdf

Differential Forms in Algebraic Topology 读后感 最近我读完了 Raoul Bott 的 Differential Forms in Algebraic Topology 代数拓扑中的微分形式 开头还算是比较轻松愉快 后 来遇到 spectral sequences 就开始发晕 到 homotopy 的时候就有点 像放弃了 好在那是一个相对独立的章节 熬到最后的 characteristic classes 稍微总算好转一点 下面主要就比较熟悉 前半部分 谈一点阅读体会 书中一开始是介绍 de Rham cohomology 一个特色就是并列了 带有 compactly supports 的情形 这样可以处理 noncompact 的情形 然而 compact cohomology 的很多性质是普通的 cohomology 相反的 这可以从 Mayer Vietoris sequence 开始讨论 就 函子而言 普 通的 cohomology 是反变的 但 compact cohomology 却有两种选择 书中主要还是取的共变形式 这就使得关于compact cohomology 的 Mayer Vietoris sequence 中箭头的方向与通常的 cohomology 相反 接着我们看 Poincare lemma 普通的 cohomology 中可以把 R 直接收缩掉 但对于 compact cohomology 而言 直接 pullback 会破 坏 compactly supports 条件 最后只能得到一个降维的形式 当然 具体的证明需要对微分形式做细致的讨论 尽管两种cohomology 的 讨论有点类似 但似乎都比较繁琐 我们容易把Poincare lemma 推 广到向量丛 M E 上 分别得到 H E H M 与 H c E H n c M 请注意对于 compactly supports 的情形 需要使用 Poincare duality 因此要假定流形是有限型可定向的 对于向量丛 M E 而言 还有一种 Poincare lemma for compact vertical supports 由此可以得到 Thom 同构 H cv E H n M 其中 n 是向量丛的维数 这样我们就可以 定义定向向量丛 E 中的 Thom class 为 H cv E 内的上同调类 它通过 的拉回是 1 H 0 M 然后我们在实二维向量丛上用 微分几何方法定义 Euler class 再出人意料的说明 Euler class 正 是 Thom class 来通过零截面到 M 上的 pullback 读到这里 有的人 可能对 实二维 这个条件不满 但后面还是有所推广的 在 sphere bundle 上通过之字形拉回定义 Euler class 然后再定义一般流形上 的 Euler class 就是其 sphere bundle 的 Euler class 这里我猜测 bundle 这个东西是比 manifold 更加高级的几何对象 记得 manifold 定向就可以由其 tangent bundle 的作为 vector bundle 的定向 不 是作为 manifold 的定向 来诱导 而实二维的重要性则体现在后面 对 complex line bundle 的讨论中 其上可以定义一阶 Chern class 为实二维向量丛的 Euler class 进而再通过前面的 Leray Hirsch theorem 作为展开系数定义高阶 Chern class 进而定义 Pontrjagin class 只不过我觉得书中的定义更侧重实用性 大概是因为作者对这 个部分只想做个简单介绍的缘故吧 书中最让我兴奋的是利用 de Rham Cech complex 证明 de Rham cohomology 与 Cech cohomology 相等 它基于这样的一个同调引理 若一个增广双复形的行是正合的 那么其整体上同调等于其第一列的 上同调 就 de Rham Cech complex 而言 行正合性可由 generalized Mayer Vietoris Principle 保证 其第一列的上同调正是 de Rham cohomology 同理对良覆盖情形 其列正合性可由 Poincare lemma 保证 得到第一行的上同调为 Cech cohomology 于是它们都等于整 个双复形的上同调 后面还具体给出了它们的对应 不过计算似乎比 较麻烦 也还没看到多少实际价值 最后简单谈谈两块没完全看懂的部分 对于spectral sequences 很多讲 homological algebra 的书中都有介绍 但它们 讲得都太抽象了 不同书的讲法差距还比较大 好在这本书中算是找 到了不少实例 能够依葫芦画瓢算几个简单的实例 只是没有完全吃 透精神 稍微复杂一点的东西还是不会算 对于homotopy 书中只是 介绍一个概要 基础部分算是比较能理解 但是一和spectral sequences 结合就头痛了 还有待于我进一步学习研究啊 本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人 现在他依然努力坚 持自学数学 似乎又有了新的突破 还录了一些数学专业教学视频放 在网上 然而 他却一直没有收到专业人士的邀请 至今只能依靠网 络书店购买书籍 无法获取海量的论文资料 也没有机会和一流的学 者们交