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一题多解 一题多变（十二）一 题 多 解，妙 不 可 言求动点轨迹方程2010年江南十校联考（理科）第20题求动点轨迹问题，参考答案仅提供一种方法。在实际教学过程中，带领学生通过探究讨论发现还有更多巧妙的方法，现总结如下。acdbrhexyof问题：如图，过圆与轴的两个交点a，b作圆的切线ac，bd，再过圆上任意一点h作圆的切线交ac，bd于c，d，设ad，bc的交点为r，求动点r的轨迹e的方程方法一（参考答案）：设则: 故切线cd的方程:切线交ac于，交bd于所以ad方程为 bc方程为由（1）（2）得： 得代入（3）式可得 当时，r（0，1）也满足方程，故r的轨迹e的方程是方法一比较通用，但在化简计算过程中比较繁琐，能否回避大量的计算呢？下面方法二明显优于方法一。方法二：设切线cd方程为，即，所以ad方程为 bc方程为，由（1）（2）得：，代入可得 即 上述两法均用交轨法求出r的轨迹方程，区别仅在于运算量。有无更巧的方法呢？本题中根据点h落在坐标轴上时，可以猜想出方程可能是，而在椭圆性质中，椭圆上任意一点到椭圆长轴上两端点连线的斜率之积为定值，以此为突破口，借助圆的切线性质可以求之。方法三：设 不妨设 ，由圆的切线性质可知： 过c作cebd交bd于e，故 ，由勾股定理知：而 ，令 化简可得：方法三运用平几与解几相结合，回避了求直线方程，简化了计算，真的很巧，但有没有更妙的方法呢？大家都知道椭圆是由圆压缩而成的，此处的椭圆是如何压缩的呢？请看方法四，读者一定会感到此法最妙！方法四：连接hr交轴于f ，故hf轴。故r为hf的中点，设，故r的轨迹e的方程是此法运用了相似比巧
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