高中数学 第一章 三角函数 1.9 三角函数的简单应用与基本关系课件2 北师大版必修4.ppt

1 9三角函数的简单应用 知识提炼 解三角函数应用问题的基本步骤 即时小测 1 思考下列问题 1 钟摆 潮汐等具有周期现象 可以建立什么样的数学模型解决 提示 钟摆 潮汐等具有周期现象 可以建立三角函数模型解决 2 在建模过程中 散点图的作用是什么 提示 利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系 然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点 从而避免因盲目选择函数模型而造成不必要的失误 2 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图 经过周期后 乙点的位置将传播至 a 甲b 乙c 丙d 丁 解析 选d 由图像知乙为最低点 丁为相邻最高点 两者之间的距离恰好为个周期 故经过周期后乙点的位置将传播至丁 3 某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f t 其中f t 的单位为m t的单位是h 则12点时潮水的高度是 m 解析 当t 12时 答案 1 4 若a x y 在单位圆上 从出发 沿逆时针方向做匀速圆周运动 每经过12秒运动一周 则经过t秒后 y关于t的解析式为 解析 由题意 xoa0 a每秒旋转经过t秒旋转所以答案 知识探究 知识点三角函数模型的简单应用观察如图所示内容 回答下列问题 问题 利用三角函数模型解决实际问题的一般方法是什么 总结提升 三角函数模型的简单应用的模式及注意事项 1 给定呈周期变化规律的三角函数模型 根据所给模型 结合三角函数的性质 解决一些实际问题 2 给定呈周期变化的图像 利用待定系数法求出函数解析式 再解决其他问题 3 整理一个实际问题的调查数据 根据数据作出散点图 通过拟合函数图像 求出可以近似表示变化规律的函数模型 进一步用函数模型来解决问题 4 应用数学知识解决实际问题时 应该注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系 还要用相关学科知识来帮助理解问题 题型探究 类型一三角函数模型在物理中的应用 典例 1 2015 长春高一检测 如图 单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置o的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s 6sin那么单摆来回摆动一次所需的时间为 a 2 sb sc 0 5sd 1s 2 已知交流电的电流i 安培 与时间t 秒 满足函数关系式i asin t 其中a 0 0 0 2 如图所示是一个周期内的函数图像 1 试写出i asin t 的解析式 2 如果在任意一段秒的时间内电流i能同时取得最大值a和最小值 a 那么正整数 的最小值是多少 解题探究 1 求单摆来回摆动一次所需的时间实质是求什么 提示 实质是求函数的周期 2 在任意一段秒的时间内电流i能同时取得最大值a和最小值 a 的意义是什么 提示 函数的周期小于 解析 1 选d 因为t 1 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s 2 1 由图知函数的最大值为300 所以a 300 最小正周期为又t 所以 150 当t 时 i 0 所以150 解得 所以 2 据题意知所以 300 所以 min 943 方法技巧 三角函数模型在物理中的应用 1 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐振动 电流 机械波等具有周期现象的方面 2 解决三角函数模型在物理中的应用问题时 要注意将条件中的物理术语与数学知识的联系 转化 如频率 平衡位置 波峰等 3 利用数学知识解决问题后要将求出的数据揭示其物理意义 以解决实际问题 变式训练 已知简谐运动f x asin x a 0 的振幅是 图像上相邻最高点和最低点的距离是5 且过点则该简谐运动的频率和初相是 解析 选b 由题意可知 则由因为因此频率是 初相为 类型二三角函数模型在实际生活中的应用 典例 2015 南平高一检测 青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔 拥有长580米 宽40余米的沙滩 是亚洲较大的海水浴场 已知海湾内海浪的高度y 米 是时间t 0 t 24 单位 小时 的函数 记作y f t 下表是某日各时刻记录的浪高数据 经长期观测 y f t 的曲线可近似地看成是函数y acos t b的图像 1 根据以上数据 求函数y acos t b的最小正周期t 振幅a及函数表达式 2 依据规定 当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断一天内从上午8 00至晚上20 00之间 哪段时间可对冲浪爱好者开放 解题探究 1 应怎么样处理题目中记录的浪高数据 提示 应画出散点图辅助观察 分析 2 应怎样求对冲浪爱好者开放的时间 提示 可令y 1 求出相应的时间段 解析 1 由t 0 y 1 5 得a b 1 5 由t 3 y 1 0 得b 1 0 所以a 0 5 b 1 所以振幅为 最小正周期t 12 2 由题知 当y 1时才可对冲浪者开放 所以即12k 3 t 12k 3 k z 因为0 t 24 故可令 中的k分别为0 1 2 得0 t 3 9 t 15 21 t 24 所以在规定时间上午8 00至晚上20 00之间 有6个小时的时间可供冲浪者运动 即上午9 00至下午3 00 延伸探究 1 改变问法 若典例条件不变 则凌晨2点的浪高是多少 解析 因为则当t 2时 即凌晨2点的浪高是米 2 变换条件 典例若增加条件 比赛只能在白天进行 浪高不小于1 25米 则适合比赛的时间段是什么 解析 由题意 令则解得 2 12k t 2 12k k z 当k 1时 10 t 14 即适合比赛的时间段是上午10点到下午2点 方法技巧 1 对三角函数应用的理解三角函数是基本的初等函数之一 是反映周期变化现象的重要函数模型 在数学和其他领域具有重要作用 命题的背景常以波浪 潮汐 摩天轮等具有周期性现象的模型为载体 考查学生收集数据 拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力 2 三角函数的应用在生产生活中的求解框图 补偿训练 如图 某大风车的半径为2m 每12s逆时针旋转一周 它的最低点o离地面0 5m 风车圆周上一点a从最低点o开始 运动ts后与地面的距离为f t 1 求函数f t 的关系式 2 经过多长时间a点离地面的距离为1 5m 解析 1 以o1为原点 建立如图所示的平面直角坐标系 则以o1x为始边 o1a为终边的角为故点a的坐标为则 2 令所以即t 2 12k或10 12k k z 规范解答综合利用函数y asin x b的性质解决实际问题 典例 12分 2015 榆林高一检测 某地农业监测部门统计发现 该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现 但生猪养殖成本逐月递增 下表是今年前四个月的统计情况 现打算从以下两个函数模型 y asin x b a 0 0 y log2 x a b中选择适当的函数模型 分别来拟合今年生猪收购价格 元 斤 与相应月份之间的函数关系 养殖成本 元 斤 与相应月份之间的函数关系 1 请你选择适当的函数模型 分别求出这两个函数解析式 2 按照你选定的函数模型 帮助该部门分析一下 今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损 审题指导 1 要求 函数模型的解析式 可以借助散点图 利用三角函数的性质 要求 函数模型的解析式 可以采用待定系数法 通过解方程组求解 2 要判断养殖户是否亏损 应计算相应月份的生猪价格与养殖成本 通过比较来判断 规范解答 题后悟道 1 利用三角函数的周期性研究实际问题在实际生活中许多的事物呈现一定周期