湖南省长沙一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题 Word版含解析.doc

2015-2016学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设集合M=1，0，1，N=x|x22x=0，则MN=（）A1，0，1B0，1C1D0【分析】求出N中方程的解确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：由N中方程变形得：x（x2）=0，解得：x=0或x=2，即N=0，2，M=1，0，1，MN=0，故选：D2已知函数，则ff（2）=（）A0B1C2D3【分析】根据x=21符合f（x）=x+3，代入求出f（x），因为f（x）=11，符合f（x）=x+1，代入求出即可【解答】解：x=21，f（x）=x+3=2+3=1，11，ff（x）=x+1=1+1=2，即ff（x）=2，故选C3下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）Ay=|x|By=3xCy=Dy=x2+4【分析】本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题在解答时，可以结合选项逐一进行排查，排查时充分考虑所给函数的特性：一次函数性、幂函数性、二次函数性还有反比例函数性问题即可获得解答【解答】解：由题意可知：对A：y=|x|=，易知在区间（0，1）上为增函数，故正确；对B：y=3x，是一次函数，易知在区间（0，1）上为减函数，故不正确；对C：y=，为反比例函数，易知在（，0）和（0，+）为单调减函数，所以函数在（0，1）上为减函数，故不正确；对D：y=x2+4，为二次函数，开口向下，对称轴为x=0，所以在区间（0，1）上为减函数，故不正确；故选A4下列函数是偶函数的是（）Ay=xBy=2x2Cy=xDy=x2，x0，1【分析】利用函数奇偶性的定义，即可得出结论【解答】解：对于A，y=x是奇函数；对于B，y=2x2是偶函数；对于C，y=，定义域是0，+）；对于D，y=x2，x0，1，都是非奇非偶函数，故选：B5函数f（x）=2x22x的单调递增区间是（）A（，1B1，+）C（，2D2，+）【考点】二次函数的性质 【分析】根据复合函数的单调性可知f（x）=2x22x的单调递增区间即为二次函数y=x22x的增区间，即y=x22x的对称轴左侧部分，从而解决问题【解答】解：令g（x）=x22x，则g（x）的对称轴为x=1，图象开口向上，g（x）在（，1）上单调递减，在1，+）上单调递增f（x）=2x22x在（，1）上单调递减，在1，+）上单调递增故选B6下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）Ae0=1与ln1=0；B8=2与log82=Clog39=2与9=3Dlog33=1与31=3【分析】利用指数式与对数式互化的方法即可判断出【解答】解：Ae0=1与ln1=0，正确；B.8=2与log82=，正确；Clog39=2应该化为32=9，不正确；Dlog33=1与31=3，正确故选：C7函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（1，1）【分析】由对数函数恒过定点（1，0），再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=logax（a0，a1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=loga（x+2）+1（a0，a1）的图象又函数y=logax（a0，a1）的图象恒过（1，0）点，由平移向量公式，易得函数y=loga（x+2）+1（a0，a1）的图象恒过（1，1）点，故选：D8三个数a=0.72，b=log20.7，c=20.7之间的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出【解答】解：0a=0.721，b=log20.70，c=20.71bac故选：C9函数f（x）=log3x+x3零点所在大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【分析】由已知条件分别求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），由此利用零点存在性定理能求出结果【解答】解：f（x）=log3x+x3，f（1）=log31+13=2，f（2）=log32+23=log3210，f（3）=log33+33=1，f（4）=log34+43=log34+10，f（5）=log35+53=log35+20，函数f（x）=log3x+x3零点所在大致区间是（2，3）故选：B10当a1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象（）ABCD【分析】先将函数y=ax化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：函数y=ax可化为函数y=，其底数小于1，是减函数，又y=logax，当a1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增故选A二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11函数f（x）=+log3（x+2）的定义域是（2，1）（1，3【分析】根据对数函数的性质以及二次公式的性质得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：2x3且x1，故答案为：（2，1）（1，312当x（1，2时，函数f（x）=3x的值域为（，9【分析】直接利用指数函数的单调性，求解函数的值域即可【解答】解：由题意可知函数是增函数，所以函数的最小值为f（1）=函数的最大值为：f（2）=9，所以函数f（x）=3x的值域为（，9；故答案为：（，93函数f（x）=是偶函数，且定义域为a1，2a，则a+b=0分析】根据偶函数的定义，以及偶函数的定义域关于原点对称可得，解此方程组求得a和b，即可求得a+b的值【解答】解：函数f（x）=是偶函数，且定义域为a1，2a，由偶函数的定义域关于原点对称可得 （a1）+2a=0，解得 a=，故函数f（x）=x2+（b+）x+3由题意可得，f（x）=f（x）恒成立，即 （x）2+（b+）（x）+3=x2+（b+）x+3 对任意的实数x都成立，故有b+=0，解得 b=，故有a+b=0，故答案为 014函数f（x）在（1，1）上是奇函数，且在区间（1，1）上是增函数，f（1t）+f（t）0，则t的取值范围是（，1）【分析】不等式f（1t）+f（t）0转化为f（1t）f（t），利用奇函数性质化为f（1t）f（t），然后利用单调性得出不等式组，解得答案【解答】解：f（1t）+f（t）0f（1t）f（t）f（x）在（1，1）上是奇函数f（t）=f（t）f（1t）f（t）f（x）在区间（1，1）上是增函数，解得t1故答案为（，1）15计算机成本不断降低，若每隔三年计算机价格就降低，现价格为8100元的计算机，则9年后的价格为2400元【分析】计算机成本每隔三年计算机价格就降低，由此可以建立计算机价格与年份的关系，从而求得9年后的价格【解答】解：计算机每隔三年计算机价格就降低，现价格为8100元，计算机价格y与年份n之间的关系为：y=8100，9年后的价格y=8100=2400元故答案为：2400三、解答题：（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16计算下列各式：（1）log23log32log2； （2）（0.125）+（）0+8+16【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出；（2）利用指数的运算法则即可得出【解答】解：（1）原式=1=；（2）原式=+1+=+=617（12分）（2015秋长沙校级期中）根据下列条件，求函数解析式：（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）2f（x）=2x+17，求f（x）； （2）已知g（x+1）=x2+3x，求g（x）【分析】（1）设f（x）=ax+b，由于3f（x+1）2f（x）=2x+17，可得3a（x+1）+3b2（ax+b）=2x+17，化简即可得出；（2）g（x+1）=x2+3x=（x+1）2+（x+1）1，即可得出【解答】解：（1）设f（x）=ax+b，满足3f（x+1）2f（x）=2x+17，3a（x+1）+3b2（ax+b）=2x+17，化为ax+（3a+b）=2x+17，a=2，3a+b=17，b=11，f（x）=2x+11（2）g（x+1）=x2+3x=（x+1）2+（x+1）1，g（x）=x2+x118（12分）（2015秋长沙校级期中）已知函数f（x）=x24|x|+3（1）试证明函数f（x）是偶函数；（2）画出f（x）的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹）（3）请根据图象指出函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x24|x|+3=k的实根的个数【分析】（1）根据函数的定义域为R，关于原点对称，且满足f（x）=f（x），可得函数 f（x）是偶函数（2）先去绝对值，然后根据二次函数、分段函数图象的画法画出函数f（x）的图象（3）通过图象即可求得f（x）的单调递增和递减区间；（4）通过图象即可得到k的取值和对应的原方程实根的个数【解答】解：（1）由于函数f（x）=x24|x|+3的定义域为R，关于原点对称，且满足f（x）=（x）24|x|+3=x24|x|+3=f（x），故函数 f（x）是偶函数（2）f（x）的图象如图所示：（3）根据图象指出函数f（x）的单调递增区间为1，0、2，+）；单调递减区间为（，1、0，1（4）当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x24|x|+3=k的实根的个数由图象可看出，当k1时，方程实根的个数为0；当k=1时，方程实根的个数为2；当1k3时，方程实根个数为4；当k=3时，方程实根个数为3；当k3时，方程实根个数为219（12分）（2015秋长沙校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若ak，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过kN*，求出k的值，写出函数的解析式（2）利用指数函数y=（lna）x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案【解答】解：（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，k22k30，解得1k3，因为kN*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+）为减函数，k=1，函数的解析式为：f（x）=x4（2）由（1）知，a1当1ae时，0lna1，（lna）0.7（lna）0.6；当a=e时，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6；当ae时，lna1，（lna）0.7（lna）0.620（13分）（2015秋长沙校级期中）若f（x）=x2x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a0且a1）（1）求a，b的值和f（x）的解析式（2）求f（log2x）的最小值及相应x的值【分析】（1）利用f（x）=x2x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2，列出方程求a，b的值和f（x）的解析式（2）化简函数为二次函数，通过二次函数的最值求f（log2x）的最小值及相应x的值【解答】解：（1）f（x）=x2x+b，f（log2a）=（log2a）2log2a+b=b，log2a=1，a=2又log2f（a）=2，f（a）=4a2a+b=4，b=2f（x）=x2x+2（4分）（2）f（log2x）=（log2x）2log2x+2=（log2x）2+当log2x=，即x=时，f（log2x）有最小值（8分）21（18分）（2010秋温州校级期末）设a是实数，（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k3x）+f（3x9x2）0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围【分析】（1）函数f（x）为奇函数，故可得f（x）+f（x）=0，由此方程求a的值；（2）证明于任意a，f（x）在R上为单调函数，由定义法证明即可，设x1，x2R，x1x2，研究f（x1）f（x2）的符号，根据单调性的定义判断出结果（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式f（k3x）+f（3x9x2）0对任意xR恒成立，转化为k3x3x+9x+2即32x（1+k）3x+2对任意xR恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件【解答】解：（1），且f（x）+f（x）=0，a=1（注：通过f（0）=0求也同样给分）（2）证明：