高中数学 §3.1.2空间向量的数乘运算学案 新人教A版选修21.doc

31.2空间向量的数乘运算知识点一 空间向量的运算 已知abcdabcd是平行六面体.(1)化简 (2)设m是底面abcd的中心,n是侧面bccb对角线bc上的分点,设,试求,的值. 解 (1)方法一 取aa的中点为e,则又取f为dc的一个三等分点(df=dc),则df = + + =+ + =方法二 取ab的三等分点p使得,取cc的中点q,则 + +=(2) = = = ，.【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法 如图所示,平行六面体a1b1c1d1- abcd，m分成的比为，n分成的比为，n分成的比为2，设 a，b，c，试用a、b、c表示， 解 = (ab)c(cb)abc知识点二 共线问题 设空间四点o，a，b，p满足其中m+n=1，则（ ）a点p一定在直线ab上b点p一定不在直线ab上c点p可能在直线ab上，也可能不在直线ab上d. 与与的方向一定相同答案a解析 已知m+n=1，则 因为 0 .所以和共线，即点a，p，b共线，故选a.【反思感悟】（1）考察点p是否在直线ab上，只需考察与是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线. 已知a、b、p三点共线，o为空间任意一点，求+的值.解 a、b、p三点共线，由共线向量知， 存在实数t，使 = t由= ，= 代入得：；又由已知，1t，t，1.知识点三 共面问题 已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点(1)求证：e，f，g，h四点共面；(2)求证：bd平面efgh.证明 (1)由已知得ef綊hg， , 不共线， 共面且有公共点g，e，f，g，h四点共面. （2） 与不共线，共面由于bd不在平面efgh内，所以bd平面efgh.【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化用向量法证明：空间四边形abcd的四边中点m，n，p，q共面 证明 amq中,= cnp中, = 所以,所以m,n,p,q四点共面.课堂小结：1向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说ab时，也具有同样的意义(2)“共线”这个概念具有自反性aa，也具有对称性，即若ab，则ba.(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上或即可也可用“对空间任意一点o，有t(1t)”来证明三点共线2向量共面的充要条件的理解xy.满足这个关系式的点p都在平面mab内；反之，平面mab内的任一点p都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点o，有(1t)xyz，且xyz1成立，则p、a、b、c四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据课时作业一、选择题1下列命题中是真命题的是( )a分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量b若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反c. 若向量 满足 | | |，且 与 同向，则 d. 若两个非零向量 与满足+ = 0，则答案 d解析 a错因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面b错因为|a|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关c错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法d对. + = 0 , = ，与共线，故，正确.2满足下列条件，能说明空间不重合的a、b、c三点共线的是( )abcd|答案 c3在下列等式中，使点m与点a，b，c一定共面的是( )a2 bc0d0答案c解析 若有 x y，则m与点a、b、c共面，或者xyz且xyz1，则m与点a、b、c共面，a、b、d三项不满足xyz1，c项满足xy，故选c.4已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数，使cab的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案b解析验证必要性时，当a，b，c共面且ac(或bc)时不能成立，不能使，都非零5. 在平行六面体abcd-a1b1c1d1中，向量 是（ ）a有相同起点的向量b等长向量c共面向量d不共面向量答案c解析 如图所示，因为而, ，即,而 与 不共线，所以 ， ， 三向量共面.二、填空题6已知p和不共线三点a，b，c四点共面且对于空间任一点o，都有2，则_.答案2解析p与不共线三点a，b，c共面，且xyz(x，y，zr)，则xyz1是四点共面的充要条件7三个向量xayb，ybzc，zcxa的关系是_(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)答案共面解析因xayb，ybzc，zcxa也是三个向量，且有zcxa(ybzc)(xayb)所以三向量共面8. 在平行四边形abcd中,ac与bd交于点o,e是线段od的中点,ae的延长线与cd交于点f.若 a ,b = b , 则 等于 _答案 ab三、解答题9 如图所示，e，f，g，h分别为正方体abcda1b1c1d1的棱a1b1，a1d1，b1c1，d1c1的中点求证：(1)e，f，d，b四点共面； (2)平面aef平面bdhg.证明 （1） ,共面且具有公共点e，e，f，d，b四点共面. (2)e，f，g，h分别是a1b1，a1d1，b1c1，d1c1的中点， ，efgh，afbg，ef平面bdhg，af平面bdhg，又afeff，平面a