高中数学 空间向量基本定理参考教案 北师大版选修21.doc_第1页
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文档简介

2.3.2 空间向量基本定理 教案一、教学目标:1知识目标:掌握空间向量基底的概念;了解空间向量的基本定理及其推论;了解空间向量基本定理的证明。2能力目标:理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示,会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底,表示其它向量。会作空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理,培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3情感目标:创设适当的问题情境,从生活中的常见现象引入课题,开始就引起学生极大的学习兴趣,让学生容易切入课题,培养学生用数学的意识,体现新课程改革的理念之一,加强数学与生活实践的联系。二、教学重难点:1.教学难点:空间向量的分解作图,用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。2.教学重点: 运用空间向量基本定理表示空间任一向量,并能根据表达式判断向量与基底的关系。三、教学方法:在多媒体和实物模型的环境下,学生分组自主与合作学习相结合,老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。四、教学过程(一)、引入:对比平面向量的基本定理,生活实际需要向三维空间发展(播放美伊战争画面,地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面),推广到空间向量的基本定理。用向量来描述:若空间三个向量不共面,那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。(提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示)学生:、是平面内两个不共线的向量,则该平面内的任一向量都可以表示为=1+2,其中1、2是一对唯一的实数。(二)、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何?学生:空间向量的基本定理:如果空间三个向量、不共面,则空间的任一向量都可表示为x+y+z。师:若猜想正确,则给出证明,若猜想不正确,先给出定理,再证明。老师板演证明:设空间三个不共面的向量=,=,=,=是空间任一向量,过p作pdoc交平面oab于d,则=+,由空间两直线平行的充要条件知= z,由平面向量的基本定理知向量与、共面,则= x+y,所以,存在x,y,z使得= x+y+ z。这样的实数x,y,z是否唯一呢?用反证法证明:若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足= x1+y1+ z1,则x+y+ z= x1+y1+ z1,即(xx1) +(yy1) +(zz1) =又、不共面,则xx1=0,yy1=0,zz1=0,所以x,y,z是唯一的实数。这样,就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。老师介绍相关概念:其中、叫做空间向量的一个基底,、都叫做基向量。师:对于空间向量的基底、的理解,要明确:空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底,基底不唯一;三个向量不共面,隐含它们都是非零向量;基底是一个集合,一个向量组,一个向量不能构成基底,基向量是基底中的某一向量。通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。若、是空间向量的一个基底,则由这三个基向量还能生成其它的基底吗?引导学生举例说明,结果不唯一,通过思考培养学生的发散思维。如: +、+、+;2+3、4、等构成向量的基底。能否由原来的基向量生成新的基底,取决于生成的新向量是否共面,即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示,请同学随便说一组向量,大家判断这组向量能否构成向量的基底。通过老师的引导,不仅让学生理解空间向量的基本定理,还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来,用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论,空间向量比平面向量发展了什么,保留了什么,渗透辨证法的思想。特别地,当x=0,则与、共面;若y=0,则与、共面;若z=0,则与、共面。当x=0, y=0时,与共线;当x=0, z=0时,与共线;当y=0, z=0时,与共线.说明每一次维数增加了,高维数的定理不但发展了低维数的定理,并包含了低维数的结论,使得原来的定理仍适用,这种发展是继承的发展,是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移,也体现在数学中其它知识的迁移(如数系的发展)。(三)、类比:对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论:平面向量中成立的结论空间向量中成立的结论(学生回答)向量与非零向量共线存在唯一实数使得=向量与非零向量共线存在唯一实数使得=(用来证明空间向量共线或直线平行)同一平面的任意两个向量都共面向量、是空间不共线的两个向量,则向量与向量、共面存在唯一实数x,y使得= x+y(用来证明空间向量共面)若=,=,则+=,是平行四边形的对角线aocb若=,=,=,则+是平行六面体的体对角线向量、不共线,则p在ab上存在实数、使得=+且+=1opba(用来证明三点共线)向量、不共线,则p在平面abc内存在实数、使得=+且+=1opbca(用来证明四点共面)(四)、例题:例1、在平行六面体abcda1b1c1d1中,= ,=,=,p是ca1的中点,m是cd1的中点,n是c1d1的中点,点q在ca1上,且cq:qa1=4:1,abcda1b1c1d1pmnqo用基底、表示以下向量:(1),(2),(3)分析:所求的向量与基底都共点,符合平行四边形法则的特征,尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。解:(1)由p是ca1的中点,得=(+)=(+)=(+)(2)=+=+=(+)+=+法2:=+=+=+(3)=+=+=+(+)=+=(+)+例2、在例1中,设o是ac的中点,判断aq和oc1所在直线的位置关系。解:由例1得:=(+)+,=+=+=(+)+则和与(+)和共面,又,则aq和oc1所在直线不能平行,只能相交。追问:要使aq和oc1所在直线平行,则o应在ac的什么位置?分析:要使aq和oc1所在直线平行,则=(+)+又=+,设=(+)则(+)+=(+)+,即+=+,由、不共面即空间向量基本定理的唯一性知:,所以,oc=ac 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做,而是用平面几何的方法,根据平行线分线段成比例定理,也应加以肯定,让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同,更深地了解向量几何侧重定量研究,即将空间任一向量放在空间坐标系中,用向量的基底表示,再进行运算,思路简捷,不需要很强的演绎推理。a1aqccc1or请学生板演平面几何证法:易证aa1qcc1r,则cr=a1q=cq,又,所以=(五)、练习:已知向量=2+3,=2+,=62+6,判断+与能否共面或共线?3与2能否共面或共线?+=3+3,=2(+),则+与共线即平行3=62+663652=2+2+46=6+53与2共线但反向。abcdo思维发散训练:已知甲烷(ch4)的分子结构

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