高中数学 空间向量与立体几何复习与小结参考教案2 北师大版选修21.doc

空间向量与立体几何复习与小结 教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）题型探析1、用已知向量表示未知向量例1. 如图所示，在平行六面体中，设，m、n、p分别是、bc、的中点，试用a、b、c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）。分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。解析：（1）p是的中点， （2）n是bc的中点，（3）m是的中点，又。点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立2、共线、共面向量问题 例2. 已知a、b、c三点不共线，对平面外一点o，在下列条件下，点p是否一定与a、b、c共面？（1）；（2）分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。解析：（1）原式变形为由共面向量定理的推论知p与a、b、c共面。（2）原式变形为p与a、b、c三点不共面。点评：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明p、a、b、c四点共面，只要能证明，或对空间任一点o，有或即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。3、空间向量基本定理 例3. 已知矩形abcd，p为平面abcd外一点，且pa平面abcd，m、n分别为pc、pd上的点，且m分成定比2，n分pd成定比1，求满足的实数x、y、z的值。分析：结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、表示出来，即可求出x、y、z的值。解析：如图所示，取pc的中点e，连接ne，则。 ，连接ac，则点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。4、空间向量数量积 例4. 在平行四边形abcd中，ab=ac=1，acd=90，将它沿对角线ac折起，使ab和cd成60角（见下图）。求b、d间的距离。解析：acd=90，同理 ab和cd成60角， 60或120 ，即b、d间的距离为2或点评：用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题。（1）求向量和所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量和用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度最后利用公式。（2）由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。（二）、课堂练习：已知a、b、c