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文档简介
知识网络构建 考纲考情点击 热点考点例析 典型问题举例 利用柯西不等式证明不等式 利用不等式解决最值 尤其是含多个变量的问题 是一种常用方法 特别是条件最值问题 通常运用平均值不等式 柯西不等式 排序不等式及幂平均不等式等 但要注意取等号的条件能否满足 利用柯西不等式求最值 求实数x y的值使得 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2达到最小值 点评 利用柯西不等式求某些函数或式子的最值 关键是将函数式化为柯西不等式的形式 并注意取等号的条件 1 用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列 如何排好这个序列是难点所在 2 注意等号成立的条件 排序不等式的应用 证明 不妨设a b c 于是a b c 由排序不等式 得aa bb cc aa bb cc aa bb cc ba cb ac aa bb cc ca ab bc 相加 得3 aa bb cc a b c a b c a b c 方法技巧 此题后半部分应用了不等式的性质来证明 数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题 利用柯西不等式 排序不等式解决有关的实际问题 关键是从实际情景中构造两类不等式的模型 柯西不等式 排序不等式的实际应用 等腰直角三角形aob的直角边长为1 如图 在此三角形中任取点p 过p分别引三边的平行线 与各边围成以p为顶点的三个三角形 图中阴影部分 求这三个三角形的面积和的最小值 以及达到最小值时p的位置 在使用数学归纳法证明时 一般说来 第一步验证比较简明 而第二步归纳步骤情况较复杂 因此 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题 归纳假设 p k 是问题的条件 而命题p k 1 成立就是所要证明的结论 因此 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 下面简要分析一些常用技巧 数学归纳法证题的常用技巧 1 分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式 从 p k 到 p k 1 常常可用分析综合法 方法技巧 在第二步的证明中 利用了分析法 2 放缩法涉及关于正整数n的不等式 从 n k 过渡到 n k 1 有时也考虑用放缩法 思维导引 利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩 凑假设 凑结论 但要注意从n k变化到n k 1时增了多少项 少了多少项 一般用f k 1 f k 来研究增加或减少的项的多少 3 递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时 有时要利用an与an 1的关系 实现从 n k 到 n k 1 的过渡 方法技巧 数列类问题用数学归纳法证明时 一般先用递推公式 后用归纳假设 4 几何问题 几何类 命题的证题关键是先要从证n k 1时命题成立的结论中 分解出n
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