高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修11.ppt

第二章圆锥曲线与方程2 1椭圆2 1 1椭圆及其标准方程 阅读教材 根据下面的知识结构图阅读教材 并识记椭圆的定义和标准方程 会求椭圆的标准方程 知识链接 1 圆的定义及方程 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程有标准式和一般式2 待定系数法求曲线方程 已知曲线类型时 先设出曲线方程 再利用条件确定方程的系数 从而得到曲线方程 如已知圆上三点 求圆的方程 主题一 椭圆的定义 自主认知 1 将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点f1 f2上 用笔尖将细绳拉紧并运动 在纸上能得到怎样的图形 提示 得到一个椭圆 2 如果调整细绳两端点f1 f2的相对位置 细绳的长度不变 猜想椭圆会发生怎样的变化 提示 当细绳两端点逐步靠近时 所画的椭圆越接近圆 当细绳两端点逐步远离时 所画的椭圆越扁平 3 绳长能小于两图钉之间的距离吗 提示 不能 否则无法画图 根据以上探究过程 试着写出椭圆的定义 平面内与 叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的 两点间的距离叫做椭圆的 两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的 轨迹 焦点 焦距 合作探究 1 当动点p与两定点f1 f2的距离和满足 pf1 pf2 f1f2 时 点p的轨迹是什么 提示 如图 当 pf1 pf2 f1f2 时 点p在线段f1f2上 所以点p的轨迹是线段f1f2 2 判断一个点的轨迹是否是椭圆 应该满足什么条件 提示 需满足两个条件 一是该点到两个定点的距离的和是常数 二是该常数要大于两定点间的距离 过关小练 1 已知命题甲 动点p到两定点a b的距离之和 pa pb 2a 其中a为大于0的常数 命题乙 p点轨迹是椭圆 则命题甲是命题乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 选b 若p点轨迹是椭圆 则一定有 pa pb 2a a 0 为常数 所以甲是乙的必要条件 反过来 若 pa pb 2a a 0 为常数 当2a ab 时 p点轨迹是椭圆 当2a ab 时 p点轨迹是线段ab 当2a ab 时 p点的轨迹不存在 所以甲不是乙的充分条件 综上 甲是乙的必要不充分条件 2 下列说法正确的是 a 已知f1 4 0 f2 4 0 到f1 f2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆b 已知f1 4 0 f2 4 0 到f1 f2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆c 到f1 4 0 f2 4 0 两点的距离之和等于点m 5 3 到f1 f2的距离之和的点的轨迹是椭圆d 到f1 4 0 f2 4 0 两点距离相等的点的轨迹是椭圆 解析 选c a中常数8 f1f2 b中常数6 f1f2 符合椭圆定义 轨迹是椭圆 d中点的轨迹应该是一条直线 主题二 椭圆的标准方程 自主认知 1 根据椭圆的几何特征 如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单 提示 在求椭圆的标准方程时 选择x轴经过两个定点f1 f2 并且使坐标原点为线段f1f2的中点 这样两个定点的坐标比较简单 2 在推导椭圆的标准方程的过程中 如何处理等式中的两个根式 提示 将其中一个根式移到另一端 两边平方 根据以上探究过程 试着写出椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 a b 0 2 焦点在y轴上 a b 0 合作探究 1 在推导椭圆方程时 为何要设 f1f2 2c 常数为2a 为何令a2 c2 b2 提示 在求方程时 设椭圆的焦距为2c c 0 椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a a 0 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式 以便使推导出的椭圆的方程形式简单 令a2 c2 b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆 2 椭圆的标准方程中 参数a b a b 0 与c满足的关系能否用图表示 方程与有何不同 提示 a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半 a b c的关系如图 当a b 0时 方程表示焦点在x轴上的椭圆 方程表示焦点在y轴上的椭圆 即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大 过关小练 1 已知焦点坐标为 0 4 0 4 且a 6的椭圆方程是 解析 选b 由条件知 椭圆的焦点在y轴上 且c 4 a 6 所以b2 a2 c2 36 16 20 所以其标准方程为 2 两个焦点坐标分别是 0 5 0 5 椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26 求椭圆的标准方程 解析 因为焦点在y轴上 所以设其标准方程为因为2a 26 2c 10 所以a 13 c 5 所以b2 a2 c2 144 所以所求椭圆标准方程为 归纳总结 1 对椭圆定义的理解椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件 即对椭圆上任一点m有 mf1 mf2 2a f1f2 否则 若2a f1f2 则轨迹是线段f1f2 若2a f1f2 则轨迹不存在 2 对椭圆标准方程的两点说明 1 标准的含义 所谓 标准 就是椭圆的中心在原点 焦点在坐标轴上 2 用待定系数法求标准方程时的注意点 应从 定位 与 定量 两个方面去考虑 首先要 定位 即确定焦点所在的坐标轴 从而确定椭圆方程的类型 其次是 定量 即利用条件确定方程中的a b的值 类型一 椭圆的定义 典例1 1 椭圆上一点m到一个焦点的距离为4 则m到另一个焦点的距离为 a 4b 6c 8d 2 2 已知定点a 0 1 点b在圆f x2 y 1 2 16上运动 f为圆心 线段ab的垂直平分线交bf于p 则点p的轨迹是 解题指南 1 根据椭圆方程求出a 利用椭圆定义求点m到另一个焦点的距离 2 利用线段的垂直平分线的性质 可以判断点p到点a和点f的距离的和为常数 解析 1 选b 设椭圆的左 右焦点分别为f1 f2 不妨令 mf1 4 由 mf1 mf2 2a 10 得 mf2 10 mf1 10 4 6 2 由题意得 pa pb 所以 pa pf pb pf 4 af 2 所以动点p的轨迹是以a f为焦点的椭圆 答案 以a f为焦点的椭圆 规律总结 椭圆定义的双向运用 1 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数 大于两定点的距离 这一条件的点的轨迹为椭圆 2 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a 提醒 在判断点的轨迹时 易出现只注意到距离之和为常数 而忽视此常数要大于两定点距离的条件作出错误的判断 巩固训练 1 2015 衡阳高二检测 设定点f1 0 3 f2 0 3 动点p满足条件 pf1 pf2 a a 0 则点p的轨迹是 a 椭圆b 线段c 不存在d 椭圆或线段 解析 选d 因为a 0 所以a 6 又f1 f2间的距离为6 所以当a 6时 点p的轨迹为椭圆 当a 6时 点p的轨迹是线段 2 2015 德州高二检测 已知m为椭圆上一点 f1为椭圆的一个焦点且 mf1 2 n为mf1中点 o为坐标原点 on长为 a 2b 4c 6d 8 解析 选b 设椭圆的另一个焦点为f2 由定义可知 mf2 2a mf1 10 2 8 补偿训练 1 到两定点 2 1 2 2 距离之和为5的点的轨迹是 a 线段b 椭圆c 直线d 不存在 解析 选a 两定点间的距离为所以点的轨迹为线段 2 已知椭圆的两个焦点为f1 f2 且 f1f2 8 弦ab过点f1 则 abf2的周长为 a 10b 20c d 解析 选d 由已知得a2 b2 c2 25 16 41 所以a 而 abf2的周长为 类型二 定义法求椭圆的标准方程 典例2 已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过b且与圆a内切 求圆心p的轨迹方程 解题指南 根据两圆内切的特点 得出 pa pb 10 根据a b点的坐标 可以判定点p的轨迹方程是以a b为焦点的椭圆 这就把求点p的轨迹方程的问题转化成了求a2 b2的问题 解析 设圆p的半径为r 又圆p过点b 所以 pb r 又因为圆p与圆a内切 圆a的半径为10 所以两圆的圆心距 pa 10 r 即 pa pb 10 大于 ab 所以点p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 所以2a 10 2c ab 6 所以a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 即点p的轨迹方程为 延伸探究 典例中条件改为已知圆a x 3 2 y2 100 圆b x 3 2 y2 4 圆p与圆a内切 与圆b外切 求圆心p的轨迹方程 解析 设圆p的半径为r 则所以 pa pb 12 6 ab 故点p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 且所以a 6 b2 27 所以点p的轨迹方程是 规律总结 定义法求椭圆的标准方程 1 先根据动点具有的条件 验证是否符合椭圆的定义 即动点到两定点距离之和是否是一常数 且该常数 定值 大于两定点间的距离 2 若符合 则动点的轨迹为椭圆 且两定点间的距离为焦距2c 距离之和是常数2a 从而可以确定椭圆的方程 巩固训练 在 abc中 b 3 0 c 3 0 若周长为16 求顶点a的轨迹方程 解题指南 由 ab ac 10可知顶点a的轨迹是椭圆 但要注意检验a b c能否构成三角形 解析 由 ab ac 10 bc 可知点a轨迹为椭圆 其中2a 10 即a 5 又b 3 0 c 3 0 则c 3 所以b 4 设a点坐标为 x y 则y 0 所以 即为a的轨迹方程 补偿训练 已知三角形abc的一边bc长为6 周长为16 求顶点a的轨迹方程 解析 建立如图坐标系 使x轴经过点b c 原点o与bc的中点重合 bc 6 ab ac 16 6 10 所以点a的轨迹是椭圆 2a 16 6 10 2c 6 c 3 a 5 b2 a2 c2 52 32 16 但当点a在直线bc上 即y 0时 a b c三点不能构成三角形 所以点a的轨迹方程是 类型三 待定系数法求椭圆的标准方程 典例3 1 2015 邵阳高二检测 过点 3 2 且与有相同焦点的椭圆的方程是 2 求中心在原点 焦点在坐标轴上 且经过和两点的椭圆方程 解题指南 1 由已知椭圆方程求得焦点坐标得c 设出所求椭圆方程 把点 3 2 代入求系数 2 根据条件设出椭圆的标准方程 利用a b两点求方程中的系数 解析 1 选a 由方程可知 其焦点的坐标为设所求椭圆方程为因为过点 3 2 代入方程为解得a2 15 a2 3舍去 故方程为 2 方法一 当焦点在x轴上时 设椭圆的标准方程为依题意 有解得所以所求椭圆的方程为 当焦点在y轴上时 设椭圆的标准方程为依题意 有解得因为a b 不合题意 所以所求椭圆的方程为 方法二 设所求椭圆方程为ax2 by2 1 a 0 b 0且a b 依题意 得解得所以所求椭圆方程为 规律总结 待定系数法求椭圆标准方程的方法 1 正确判断焦点的位置 2 设出标准方程后 运用待定系数法求解 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 不能确定焦点位置时可设为或设为ax2 by2 1 a 0 b 0 且a b 巩固训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 且经过点 2 0 和点 0 1 2 焦点在y轴上 与y轴的一个交点为p 0 10 p到它较近的一个焦点的距离等于2 解析 1 因为椭圆的焦点在x轴上 所以可设它的标准方程为因为椭圆经过点 2 0 和 0 1 所以所以故所求椭圆的标准方程为 2 因为椭圆的焦点在y轴上 所以可设它的标准方程为因为p 0 10 在椭圆上 所以a 10 又因为p到它较近的一个焦点的距离等于2 所以 c 10 2 故c 8 所以b2 a2 c2 36 所以所求椭圆的标准方程是 补偿训练 已知椭圆的中心在原点 两焦点f1 f2在x轴上 且过点a 4 3 若f1a f2a 求椭圆的标准方程 解析 设所求椭圆的标准方程为设焦点f1 c 0 f2 c 0 因为f1a f2a 所以而所以 4 c 4 c 32 0 所以c2 25 即c 5 所以f1 5 0 f2 5 0 所以2a af1 af2 所以所以所以所求椭圆的标准方程为 类型四 椭圆定义的应用 典例4 2015 济宁高二检测 如图所示 已知椭圆的方程为若点p在第二象限 且 pf1f2 120 求 pf1f2的面积 解题指南 求 pf1f2的面积需要用 pf1 f1f2 sin120 椭圆可以提供 pf1 和 pf2 的等量关系 求解本题可由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于 pf1 和 pf2 的方程 解方程组求得 pf1 再用面积公式求解 解析 由已知得a 2 所以 f1f2 2c 2 在 pf1f2中 由余弦定理 得 pf2 2 pf1 2 f1f2 2 2 pf1 f1f2 cos120 即 pf2 2 pf1 2 4 2 pf1 由椭圆定义 得 pf1 pf2 4 即 pf2 4 pf1 将 代入 解得 pf1 所以即 pf1f2的面积是 延伸探究 在例题题设条件不变的情况下 求点p的坐标 解析 设p x y 由例题可知又所以代入椭圆方程得又因为点p在第二象限 所以点p的坐标为 规律总结 1 椭圆定义的应用 1 实现两个焦点半径之间的相互转化 2 将两个焦点半径之和看成一个整体 求解定值问题 2 椭圆定义解题的团体思想对于椭圆上一点p与椭圆的两焦点f1 f2构成的 f1pf2 求三角形的面积时注意整体思想的应用 如已知 f1pf2 可利用s absinc把 pf1 pf2 看成一个整体 运用公式 pf1 2 pf2 2 pf1