【创新设计】北京大学附中高考数学二轮复习 考前抢分必备专题训练 计数原理.doc

北京大学附中2013版创新设计高考数学二轮复习考前抢分必备专题训练：计数原理本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法：；。其中正确算法的种数为( )a0b1c2d3【答案】d2设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )a45个b81个c165个d216个【答案】c31名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( )a 450b 460c 480d 500【答案】c4“”含有数字，且有两个数字，则含有数字，且有两个相同数字的四位数的个数为( )abcd【答案】b5有4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有( )a12b10c8d6【答案】c66位好朋友在一次元旦聚会中进行礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进行交换的两位朋友互赠一份礼品，已知这6位好朋友之间共进行了13次互换，则收到4份礼品的同学人数为( )a1或4b2或4c2或3d1或3【答案】b72010年上海世博会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作，每一项工作至少分一人，且甲、乙两人不能同时做同一项工作，则不同的分配种数是( )a24b30c36d48【答案】b8如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有( )a8种b12种c16种d20种【答案】c9二项式 的展开式中的第9项是常数项，则的值是( )a4b8c11d 12【答案】d10某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭。则每天不同午餐的搭配方法总数是( )a210b420c56d22【答案】a11方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )a60条b62条c71条d80条【答案】b12从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( )a80种b100种c120种d240种【答案】b第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13在的展开式中，的系数等于_。（用数字作答）【答案】40147名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法为_.（用数字作答）【答案】144015将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有 个。【答案】316的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为_【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17给出五个数字1，2，3，4，5；(1）用这五个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2）用这些数字作为点的坐标，能得到多少个不同的点(数字可以重复用) ?【答案】（1）用1，2，3，4，5组成无重复数字的四位偶数可分为以下两步：第一步从2，4中选一个作为个位，有2种不同的选法；第二步从余下的四个数中选3个分别作为十位、百位和千位共有种不同的选法。由分步计数原理得共可组成242=48个不同的四位偶数。（也可直接用分步计数原理得2432=48）.(2）由分步计数原理得：第一步从1，2，3，4，5中任选一个作为点的横坐标，有5种不同的选法；第二步从1，2，3，4，5中任选一个作为点的纵坐标，也有5种不同的选法；所以共可组成55=25个不同的点。18已知，nn*.(1) 若，求中含项的系数；(2) 若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：(1)(1)(1)【答案】(1) g(x)中含x2项的系数为c2c3c1104556.(2) 证明：由题意，pn2n1. 当n1时，p1(a11)a11，成立； 假设当nk时，pk(a1a2ak1)(1a1)(1a2)(1ak)成立，当nk1时，(1a1)(1a2)(1ak)(1ak1)2k1(a1a2ak1)(1ak1)2k1(a1a2akak1a1a2akak11)(*) ak1，a1a2ak(ak11)ak11，即a1a2akak11a1a2akak1，代入(*)式得(1a1)(1a2)(1ak)(1ak1)2k(a1a2akak11)成立综合可知，pn（a1a2an1）（1a1）（1a2）（1an）对任意nn*成立19有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合a，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合b，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合c，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：a中选1人参加象棋比赛，b中选1人参加围棋比赛，方法数为种； 第二类：c中选1人参加象棋比赛，b中选1人参加围棋比赛，方法数为种； 第三类：c中选1人参加围棋比赛，a中选1人参加象棋比赛，方法数为种； 第四类：c中选2人分别参加两项比赛，方法数为种；由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。20用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】 (1)先排个位，再排首位，共有aaa=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有a个，以2或4结尾的四位偶数有aaa个，则共有a+ aaa=156（个）. (3)要比3 125大，4、5作千位时有2a个，3作千位，2、4、5作百位时有3a个，3作千位，1作百位时有2a个，所以共有2a+3a+2a=162（个）.21甲队有4名男生和2名女生，乙队有3名男生和2名女生(）如果甲队选出的4人中既有男生又有女生，则有多少种选法？(）如果两队各选出4人参加辩论比赛，且两队各选出的4人中女生人数相同，则有多少种选法？【答案】（）甲队选出的4人中既有男生又有女生，则选法为种 (或种）(）两队各选出的4人中女生人数相同，则选法为种 22给定平面上的点集p=p1，p2，p1994, p中任三点均不共线,将p中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案g，不同的分组方式得到不同的图案，将图案g中所含的以p中的点为顶点的三角形个数记为m(g)(1)求m(g)的最小值m0(2)设g*是使m(g*)=m0的一个图案，若g*中的线段(指以p的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色证明存在一个染色方案,使g*染色后不含以p的点为顶点的三边颜色相同的三角形【答案】设g中分成的83个子集的元素个数分别为ni(1i83)，ni=1994且3n1n2n83则m(g)= c即求此式的最小值设nk+1nk+1即nk+11nk+1则c+ c( c+ c)= cc0这就是说，当nk+1与nk的差大于1时，可用nk+11及nk+1代替nk+1及nk，而其余的数不变此时，m(g)的值变小于是可知，只有当各ni的值相差不超过1时，m(g)才能取得最小值1994=8324+2故当81组中有24