高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式（2）课件3 新人教A版必修4.ppt

1 3三角函数的诱导公式 二 知识提炼 1 诱导公式五 六 2 公式五和公式六的语言概括 1 函数名称 的正弦 余弦 函数值 分别等于 的 函数值 2 符号 函数值前面加上一 原函数值的符号 3 作用 利用诱导公式五或六 可以实现 的相互转化 余弦 正弦 个把 看成锐角时 正弦函数与余弦函数 即时小测 1 思考下列问题 1 诱导公式五 六中的角 只能是锐角吗 提示 角 不仅是锐角 可以是任意角 2 如何利用公式三和公式五推导出公式六 提示 2 化简 sin 解析 答案 cos 3 计算 sin211 sin279 解析 sin211 sin279 sin211 cos211 1 答案 1 4 若cos m 则sin 解析 因为cos sin m 所以sin m 答案 m 5 将下列三角函数化为0 到45 之间角的三角函数 1 sin67 2 cos78 3 tan129 解析 1 sin67 sin 90 23 cos23 2 cos78 cos 90 12 sin12 3 tan129 tan 180 51 tan51 答案 1 cos23 2 sin12 3 tan51 知识探究 知识点诱导公式五 六观察图形 回答下列问题 问题1 设图中单位圆上的p1坐标为 x y 能否用其表示出sin sin cos cos 的值 问题2 诱导公式一 六的统一记忆方法是什么 总结提升 1 对诱导公式五 六的两点说明 1 诱导公式五 六反映的是角 与 的三角函数值之间的关系 可借用口诀 函数名改变 符号看象限 来记忆 2 诱导公式是三角变换的基本公式 其中角可以是一个单角 也可以是一个复角 应用时要注意整体把握 灵活变通 2 对诱导公式一 六的两点说明 1 诱导公式一 六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系 2 公式一 六的记忆口诀和说明 口诀 奇变偶不变 符号看象限 说明 题型探究 类型一利用诱导公式化简 求值 典例 1 2015 临沂高一检测 若cos a 那么sin a 的值为 2 已知sin 20 则cos 110 3 化简 解题探究 1 典例1中 利用诱导公式求cos a 分别等于什么 提示 cos a cosa cosa 2 典例2中 20 与110 有什么关系 可以联系到哪组诱导公式 提示 20 90 110 cos 90 sin sin 90 cos 3 典例3中 如何化简 提示 解析 1 选a 因为cos a cosa 所以2 选a cos 110 cos 90 20 sin 20 3 原式 方法技巧 1 求值问题中角的转化方法 2 用诱导公式进行化简的要求三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单 1 化简后项数尽可能的少 2 函数的种类尽可能的少 3 分母不含三角函数的符号 4 能求值的一定要求值 5 含有较高次数的三角函数式 多用因式分解 约分等 变式训练 1 若sin 3 则cos 等于 解析 选a 因为sin 3 sin sin 所以cos cos 4 cos sin 2 已知cos31 m 则sin239 tan149 的值是 解析 选b sin239 tan149 sin 270 31 tan 180 31 cos31 tan31 sin31 类型二利用诱导公式证明恒等式 典例 求证 解题探究 本例中 证明等式的策略是什么 提示 从左边开始 使得它等于右边 证明 左边 右边 所以原式成立 延伸探究 本例等式左边 sin 与 cos 互换 右边改为 试证等式成立 证明 左边 右边 所以原式成立 方法技巧 证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题 关键在于公式的灵活应用 其证明的常用方法有 1 从一边开始 使得它等于另一边 一般由繁到简 2 左右归一法 即证明左右两边都等于同一个式子 3 针对题设与结论间的差异 有针对性地进行变形 以消除差异 变式训练 证明 证明 左边 1 右边 所以原式成立 补偿训练 求证 证明 左边 tan 右边 所以原等式成立 类型三诱导公式的综合应用 典例 2015 潮州高一检测 已知cos 且 为第三象限角 1 求sin 的值 2 求f 的值 解题探究 本例中 sin 的符号如何确定 化简f 用哪几组诱导公式 提示 由 为第三象限角知sin 0 化简f 用公式二 四 五 解析 1 因为cos 且 为第三象限角 所以 2 f 延伸探究 1 改变问法 本例条件不变 求f 的值 解析 2 变换条件 改变问法 本例条件中 cos 改为 的终边与单位圆交于点p m 第三象限 改为 第二象限 试求的值 解析 由已知得解得又因为 为第二象限角 所以m 0 故所以原式 方法技巧 用诱导公式化简求值的方法 1 对于三角函数式的化简求值问题 一般遵循诱导公式先行的原则 即先用诱导公式化简变形 达到角的统一 再进行切化弦 以保证三角函数名最少 2 对于 和 这两套诱导公式 切记运用前一套公式不变名 而运用后一套公式必须变名 补偿训练 已知sin 是方程5x2 7x 6 0的根 是第三象限角 求的值 解析 方程5x2 7x 6 0的两个根为由 是第三象限角 得sin 则cos tan 所以原式 延伸探究 1 改变问法 本例条件不变 求的值 解析 原式 2 变换条件 改变问法 本例条件中 sin 改为 tan 求的值 解析 由原题知tan 2 由解得原式 拓展类型三角复合函数的求值问题 备选典例 1 已知f cosx cos3x 则f sinx a sin3xb sin3xc cos3xd cos3x2 已知函数f x 满足f cosx x 0 x 求f cos 的值 解析 1 选a f sinx f cos x 2 方法技巧 三角复合函数求值的一般思路三角复合函数是特殊的函数 是函数f 外函数 与三角函数 内函数 的复合函数 需注意自变量是角 解题的关键是利用诱导公式将角转化到定义域中 补偿训练 设f sinx 3 cos2x 则f cosx 的值为 a 3 cos2xb 3 sin2xc 3 cos2xd 3 sin2x 解析 选c 因为cosx sin x 所以f cosx f sin x 易错案例诱导公式的综合应用 典例 2015 枣庄高一检测 已知角 终边上一点p 4 3 则的值为 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是化简时出错 实际上 自我矫正 因为角 终边过点p 4 3 所以所以原式答案 防范