高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 18 利用导数研究函数的单调性课件 文.ppt

第三章导数及其应用 第18课利用导数研究函数的单调性 课前热身 1 选修22p28例1改编 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间为 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 由 x 11 x 1 0 得单调减区间为 1 11 亦可填写闭区间或半开半闭区间 激活思维 1 11 2 选修22p29练习4 1 改编 函数y xlnx的单调减区间为 3 选修11p74练习2改编 若函数f x x3 ax 2在r上是增函数 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 a 因为f x 在 上是增函数 所以f x 0恒成立 所以a 0 0 4 选修11p87练习3改编 若函数f x ex ax在区间 1 上单调递增 则实数a的取值范围是 解析 由f x ex a 0 得a ex 若函数在 1 上单调递增 则a ex在区间 1 上恒成立 所以a e e 1 1 用导数研究函数的单调性在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 知识梳理 f x 0且在 a b 的任意子区间上不恒为0 f x 0且在 a b 的任意子区间上不恒为0 2 判定函数单调性的一般步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式 或 4 根据 3 的结果确定函数的单调区间 f x 0 f x 0 课堂导学 求下列函数的单调区间 求函数的单调区间 例1 精要点评 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 1 确定函数f x 的定义域 2 求导函数f x 3 在函数f x 的定义城内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 变式 已知函数f x x2 2 b x blnx x 0 b为实常数 讨论函数f x 的单调性 思维引导 先确定函数的定义域为 0 然后求解函数f x 的导数 最后利用导数的符号判断函数的单调性 含参函数单调性的讨论 例2 精要点评 当导函数中含有字母参数时 要注意对字母参数进行讨论后再确定导数符号 其本质是利用分类讨论思想求解含参数不等式 2016 镇江期末改编 已知函数f x ax2 2a 1 x 2a 1 ex 求函数f x 的单调区间 解答 由题意知f x ax2 x ex x ax 1 ex 若a 0 则f x xex 当x 0 时 f x 0 则函数f x 在 0 上单调递增 当x 0 时 f x 0 则函数f x 在 0 上单调递减 变式 综上所述 根据函数的单调性求参数 例3 2 因为f x x2 2mx 3m2 令f x 0 得x 3m或m 当m 0时 f x x2 0恒成立 不符合题意 精要点评 由函数的单调性求参数的取值范围 这类问题一般已知f x 在区间i上单调递增 递减 等价于不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围 变式1 4 已知函数f x kx3 3 k 1 x2 k2 1 k 0 若f x 的单调减区间是 0 4 则k的值是 解析 由f x 3kx2 6 k 1 x 0的解集为 0 4 得k 1 变式2 1 已知函数f x ex ax 1 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在定义域r上单调递增 求实数a的取值范围 3 是否存在实数a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 思维引导 通过对f x 的正 负号的讨论得到f x 的单调区间 若函数在某个区间上单调 则其导函数在这个区间上大于等于零或小于等于零恒成立 备用例题 解答 由题意知 f x ex a x r 1 若a 0 则f x ex a 0恒成立 此时f x 在r上单调递增 若a 0 则由ex a 0 得x lna 此时f x 的单调增区间为 lna 由ex a0时 f x 的单调增区间为 lna 单调减区间为 lna 2 因为f x 在r上单调递增 所以f x 0在r上恒成立 所以ex a 0 即a ex在r上恒成立 所以a ex min 又因为ex 0 所以a 0 所以实数a的取值范围为 0 3 方法一 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 所以a ex在 0 上恒成立 因为y ex在 0 上为增函数 所以当x 0时 ex取得最大值1 所以a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a 1 综上 a 1 方法二 假设存在符合条件的实数a 则x 0为f x 的唯一极小值点 所以f 0 0 即e0 a 0 所以a 1 经验证a 1满足条件 精要点评 通过解不等式f x 0 或f x 0 来确定函数的单调增 或减 区间 注意对参数的讨论 反之 若函数f x 在某个区间上单调递增 或减 则由f x 0 或f x 0 在这个区间上恒成立 从而求出参数的值或取值范围 课堂评价 1 2015 南昌模考 函数f x lnx x2 3x的单调减区间为 2 若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则实数k的取值范围是 1 3 已知函数f x x3 3ax b a 0 1 若曲线y f x 在点 2 f x 处与直线y 8相切 求a b的值 2 求函数f x 的单调区间 2 f x 3 x2 a a 0 当a 0时 f x 0 所以函数f x 在 上单调递增 若a 0 则当x a 时 f x 0 所以f x 在区间 a 上单调递增 当x a 0 时 f x 0 所以f x 在区间 a 0 上单调递减 综上所述 当a 0时 f x 的单调增区间为 0 0 当a 0时 f x 的单调增区间为 a a 单调减区间为 a 0 0 a 2 因为f x 为奇函数 当a