高中数学 第一章 三角函数 1.7.1 正切函数的定义 1.7.2 正切函数的图像与性质课件2 北师大版必修4.ppt

1 7正切函数1 7 1正切函数的定义1 7 2正切函数的图像与性质 知识提炼 1 正切函数的定义在直角坐标系中 1 角 的终边与单位圆交于点p a b 2 把比值 叫作角 的正切函数 记作y tan 2 正切函数的图像与性质 1 正切线 如图所示 线段 为角 的正切线 at 2 正切函数y tanx x r x k k z 的图像与性质 r 奇函数 即时小测 1 思考下列问题 1 正切函数是奇函数 图像关于原点对称 那么正切函数的对称中心只有一个吗 提示 正切函数的对称中心除了原点外 诸如 0 等都是对称中心 正切函数有无数个对称中心 2 正切函数在定义域上是增加的吗 提示 正切函数在每一个区间 k z都是增加的 但在定义域上不是增加的 2 tan的最小正周期为 解析 周期t 答案 3 tan 解析 答案 知识探究 知识点正切函数的图像与性质观察图形 回答下列问题 问题 三角函数性质有何共同的特点 总结提升 1 对正切函数值符号的理解正切函数值的符号是由a b的符号决定的 故当角 为第一 三象限角时 a b同号 正切函数值为正 当角 为第二 四象限角时 a b异号 正切函数值为负 2 作正切函数的图像的两种方法 1 几何法 利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图像 该方法作图较为精确 但画图时较烦琐 2 三点两线法 三点 是指 1 0 0 两线 是指x 和x 在三点 两线确定的情况下 类似于五点法作图 可大致画出正切函数在上的简图 然后向左 向右扩展即得正切曲线 知识拓展 1 几种特殊角的正切值 2 三角函数在各个象限的符号规律只记住在各个象限为正值的三角函数 其他的则为负值 记忆口诀 一象全 二正弦 三正切 四余弦 3 函数y atan x b的周期t 题型探究 类型一正切函数的定义 图像 典例 1 2015 阜阳高一检测 函数y tanx sinx tanx sinx 在区间内的图像大致是 2 2015 天水高一检测 函数y tan的定义域为 3 点p 1 2 在角 的终边上 则 解题探究 1 怎样由函数解析式作函数的图像 提示 应分情况去掉绝对值号 得到函数的解析式后作图像 2 正切函数的定义域是什么 提示 正切函数的定义域是 3 由点p的坐标怎样求角 的三角函数值 提示 可根据任意角三角函数的定义求角的三角函数值 解析 1 选d 函数y tanx sinx tanx sinx 由正弦函数与正切函数的图像可知d正确 2 令答案 3 所以答案 10 方法技巧 1 当题目给出角 终边所在直线方程时 求sin cos tan 经常采用的步骤 2 求函数y atan x b定义域的方法令 x k k z 解出x即得到函数的定义域 变式训练 已知角x终边上的一点p 4 3 则的值为 解析 由题意tanx 答案 类型二与正切函数相关的范围问题 典例 在 0 2 内 使tanx 1成立的x的取值范围是 解题探究 函数满足y tanx 1的图像是哪一部分 提示 正切曲线在直线y 1上方的部分 解析 选d 由tanx 1 可得再根据x 0 2 求得 延伸探究 1 变换条件 在r内 tanx 1 求不等式的解集 解析 由tanx 1 解得故不等式的解集为 2 变换条件 在 0 2 内 使1 tanx 成立的x的取值范围 解析 在内 满足1 tanx 的x范围为在内满足1 tanx 的x范围为在内无满足1 tanx 的x值 故所求x的取值范围为 方法技巧 数形结合求范围的策略 1 遇到与三角函数有关的范围问题时 首先是作出函数的图像 确定满足不等式的图像部分 再选取一个恰当的周期 在这个周期内确定求出满足不等式的范围 最后结合函数的周期拓展到全体实数上 2 解题此类题目的关键一是作图 二是确定范围端点的未知量的值 补偿训练 2015 益阳高一检测 若y 求函数的定义域为 解析 令tanx 0 即tanx 解得则函数的定义域为答案 类型三正切函数的单调性的应用 典例 2015 宜春高一检测 已知a tan1 b tan2 c tan3 则 a a b cb c b ac b c ad b a c 解题探究 弧度为1 2 3的角分别在哪一个象限 2 3在哪一个区间内 提示 1弧度的角在第一象限 2 3弧度的角在第二象限 2 3在区间 解析 选c 因为1弧度的角在第一象限 2 3弧度的角在第二象限 故a 0 b 0 c 0 又因为正切函数在区间上是增加的 故b c 因此b c a 方法技巧 比较三角函数值大小的方法 1 首先确定角的范围 必要时可用诱导公式转化确定与其终边相同的角亦可 其次利用单调性 界点值等比较大小 2 判断大小的顺序是先与0比较 同号的再根据单调性 界点值比较 变式训练 若f x tan 则 a f 0 f 1 f 1 b f 0 f 1 f 1 c f 1 f 0 f 1 d f 1 f 0 f 1 解题指南 y tanx在上是增加的 根据诱导公式把转化到上再比较大小 解析 选a f 1 又所以f 0 f 1 f 1 补偿训练 2015 九江高一检测 设则 a a b cb a c bc b c ad b a c 解析 选a 因为因为故即a b c 易错案例正切函数图像 性质的应用 典例 2015 武汉高一检测 函数y 2tan 3x 的图像的一个对称中心为 则 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 出错的根本原因在于对正切函数的图像理解不准确 弄错了对称中心 自我矫正 因为函数的图像的对称中心为 k z 令3x k z 由题意知 因为所以当k 1时 当k 2时 即 或 答案 或 防范措施 1 正切函数图像与性质的灵活应用解题时 要注