高考数学 名师指导提能专训11 用空间向量的方法解决立体几何问题 理(1).doc

提能专训(十一)用空间向量的方法解决立体几何问题一、选择题1(济南抽优测验)平行六面体abcda1b1c1d1中，若x2y3z，则xyz()a1b.c.d.b解题思路：在平行六面体abcda1b1c1d1中有.又由x2y3zx2y3z，可得x1，y，z，则xyz.2已知四棱锥sabcd的所有棱长都相等，e是sb的中点，则ae，sd所成的角的正弦值为()a. b. c. d.b解题思路：建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则a(1，1,0)，d(1，1,0)，s(0,0，)，e， ，(1，1，)， cos， ae，sd所成的角的正弦值为.3设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是()a. b. c. d.d解题思路：如图，建立空间直角坐标系，则d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，d(0,0,0)，b(2,2,0)， (2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面a1bd的法向量n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)， 点d1到平面a1bd的距离d.4(2013河北冀州中学质检一)在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱cc1的中点，f是侧面bcc1b1内的动点，且a1f平面d1ae，则a1f与平面bcc1b1所成角的正切值构成的集合是()a. b.ct|2t2 dt|2t2d解题思路：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立直角坐标系，设边长为1，则a(1,0,0)，e，d1(0,0,1)，a1(1,0,1)，设f(x,1，z)， (x1,1，z1)求得平面d1ae的一个法向量为m，由m0，得xz0，b1到线段a1f上的点f的最小距离为，最大距离为，a1f与平面bcc1b1所成角的正切值为tan b1fa12,2，所以选d.二、填空题5已知正方体abcda1b1c1d1中，点e，f分别是底面a1b1c1d1和侧面cdd1c1的中心，若0，则_.解题思路：连接a1d，c1d，a1c1，则ef綊a1d，故，故.6如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，bac，abacaa12，点g与e分别为线段a1b1和c1c的中点，点d与f分别为线段ac和ab上的动点若gdef，则线段df长度的最小值是_解题思路：本题考查空间线段长以点a为坐标原点，以ab为x轴，ac为y轴，aa1为z轴建立空间直角坐标系，则d(0，y,0)，f(x,0,0)，e(0,2,1)，g(1,0,2)，所以(1，y，2)，(x，2，1)，因为gdef，所以(x，2，1)(1，y，2)2yx20，所以2yx2，其中0x2,0y2，画出x，y满足的可行域如图中直线l在第一象限内的部分，df的长为om，m在可行域内，由图知，oml时，df取值最小，长度为om.三、解答题7(2013哈尔滨高考复习检测)如图，已知四棱锥pabcd的底面abcd是边长为1的正方形，pd底面abcd，且pd2.(1)若点e，f分别在棱pb，ad上，且4，4，求证：ef平面pbc；(2)若点g在线段pa上，且三棱锥gpbc的体积为，试求线段pg的长解析：(1)证明：以点d为坐标原点，da为x轴正方向，dc为y轴正方向，dp为z轴正方向，建立空间直角坐标系则d(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，因为4，4，所以f，e，则，(1,0,0)0，同理0，即ef垂直于平面pbc中两条相交直线，所以ef平面pbc.(2)(1,0，2)，可设(01)，所以向量的坐标为(，0，2)，平面pbc的法向量为.点g到平面pbc的距离d .pbc中，bc1，pc，pb，所以spbc.三棱锥gpbc的体积vspbcd，所以.此时向量的坐标为，|，即线段pg的长为.8(天津一模)如图所示，直三棱柱abca1b1c1中，cacb1，bca90，棱aa12，m，n分别是a1b1，a1a的中点(1)求的长；(2)求cos，的值；(3)求证：a1bc1m.解析：(1)以c为原点，ca为x轴，cb为y轴，cc1为z轴，建立空间直角坐标系cxyz，则有b(0,1,0)，n(1,0,1)， |.(2)依题意得a1(1,0,2)，b(0,1,0)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)， (1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|， cos，.(3)证明：依题意得c1(0,0,2)，m，(1,1，2)，. 00， ， a1bc1m.9(2013江苏扬州调研)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc2aa1，abc90，d是bc的中点(1)求证：a1b平面adc1；(2)求二面角c1adc的余弦值；(3)试问线段a1b1上是否存在点e，使ae与dc1成60角？若存在，确定点e位置；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：连接a1c，交ac1于点o，连接od.由abca1b1c1是直三棱柱，得四边形acc1a1为矩形，o为a1c的中点又d为bc的中点，所以od为a1bc的中位线所以a1bod.因为od平面adc1，a1b平面adc1，所以a1b平面adc1.(2)由abca1b1c1是直三棱柱，且abc90，得ba，bc，bb1两两垂直以bc，ba，bb1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系bxyz.设ba2，则b(0,0,0)，c(2,0,0)，a(0,2,0)，c1(2,0,1)，d(1,0,0)，所以(1，2,0)，(2，2,1)设平面adc1的法向量为n(x，y，z)，则有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面adc的一个法向量为(0,0,1)所以cosn，.因为二面角c1adc是锐二面角，所以二面角c1adc的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点e.因为点e在线段a1b1上，a1(0,2,1)，b1(0,0,1)，故可设e(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，(1,0,1)因为ae与dc1成60角，所以|cos，|.即，解得1或3(舍去)所以当点e为线段a1b1的中点时，ae与dc1成60角10(2013郑州高中第二次质检)如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为2，(r)(1)当时，求证：ab1平面a1bd；(2)当二面角aa1db的大小为时，求实数的值解析：(1)证明：取bc的中点为o，连接ao，在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面cbb1c1，因为abc为正三角形，所以aobc，故ao平面cbb1c1.以o为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系oxyz，则a(0,0，)，b1(1,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，b(1,0,0)所以(1,2，)，(1,1，)，(2，1,0)，因为1230，220，所以ab1da1，ab1db，又因为da1dbd，所以ab1平面a1