高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 13 函数与方程课件 文.ppt

第二章函数与基本初等函数 第13课函数与方程 课前热身 1 必修1p75例1改编 对于二次函数y ax2 bx c a 0 若ac0 此方程有两个不相等的实数根 即有两个零点 激活思维 2 2 必修1p111复习题13改编 已知函数f x 2x 3x 那么函数f x 的零点个数为 解析 方法一 令f x 0 则2x 3x 在同一平面直角坐标系中分别作出y 2x和y 3x的图象如图所示 由图知函数y 2x和y 3x的图象有2个交点 所以函数f x 的零点个数为2 2 第2题 方法二 由f 0 0 f 1 0 知f x 有2个零点 分别在区间 0 1 和 3 4 内 3 必修1p96练习2改编 若方程lgx 2 x在区间 n n 1 n z 内有解 则n的值为 解析 令f x lgx x 2 由f 1 10 知f x 0的根介于1和2之间 即n 1 1 4 必修1p76习题1改编 若函数f x x2 ax b的两个零点分别为2和3 则函数g x bx2 ax 1的零点是 5 必修1p96练习5改编 函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数据如下表 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根为 精确到0 1 解析 f 1 40625 0 0540且都接近0 由二分法可知其根近似于1 4 1 4 1 二次函数的零点一般地 二次方程ax2 bx c 0 a 0 的实数根就是二次函数y ax2 bx c a 0 的值为0时自变量x的值 也就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 因此 我们把使二次函数y ax2 bx c a 0 的值为0的实数x 即一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的实数根 称为二次函数y ax2 bx c a 0 的 知识梳理 零点 当a 0时 二次函数的零点 二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系 如下表所示 函数无零点 2 一般地 把使函数y f x 的值为0的实数x称为y f x 的零点 函数y f x 的零点就是方程f x 0的 也就是函数y f x 的图象与x轴交点的 所以函数y f x 有零点等价于函数y f x 的图象与x轴有 也等价于方程f x 0有 实数根 横坐标 交点 根 3 函数零点的存在性定理一般地 若函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条 的曲线 且 则函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c就是函数y f x 的零点 也就是方程f x 0的根 这个结论称为零点的存在性定理 由上述可知 利用零点的存在性定理判定函数f x 在区间 a b 上存在零点的两个条件 1 函数在区间 a b 上的图象不间断 2 f a f b 0 两者缺一不可 不间断 f a f b 0 4 二分法对于区间上的连续不断 且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫作二分法 课堂导学 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x log2 x 2 x x 1 3 思维引导 第 1 问利用零点的存在性定理或直接求出零点 第 2 问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解 函数零点的存在性问题 例1 解答 1 方法一 因为f 1 12 3 1 18 200 所以f 1 f 8 0 故f x x2 3x 18在 1 8 上存在零点 方法二 令f x 0 得x2 3x 18 0 x 1 8 解得x 6 所以f x x2 3x 18在 1 8 上存在零点 2 方法一 因为f 1 log23 1 log22 1 0 f 3 log25 3 log28 3 0 所以f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x在 1 3 上存在零点 方法二 设y log2 x 2 y x 在同一平面直角坐标系中作出它们的图象如图所示 从图象中可以看出 当1 x 3时 两图象有1个交点 因此f x log2 x 2 x在 1 3 上存在零点 例1 2 精要点评 在判断函数零点是否存在的问题中 必须强调 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 3 在 a b 内存在零点 这是零点存在的一个充分不必要条件 已知二次函数y x2 2 m 1 x m2 2m 3 其中m为实数 求证 无论m取何实数 这个二次函数必有两个不同的零点 解答 令y 0 得x2 2 m 1 x m2 2m 3 0 因为 4 m 1 2 4 m2 2m 3 4m2 8m 4 4m2 8m 12 16 0 所以方程x2 2 m 1 x m2 2m 3 0必有两个不相等的实数根 所以无论m取何值 这个二次函数必有两个不同的零点 变式 思维引导 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 解析 当x 0时 令x2 2x 3 0 解得x 3 当x 0时 令 2 lnx 0 解得x e2 所以函数f x 有两个零点 函数零点个数的判断 例2 2 精要点评 利用代数法求分段函数的零点时 一定要注意函数表达式所对应的自变量的范围 即通过解方程得到的零点一定要检验 2016 南通 扬州 淮安 宿迁 泰州二调 已知f x 是定义在r上的偶函数 且对于任意的x 0 满足f x 2 f x 若当x 0 2 时 f x x2 x 1 则函数y f x 1在区间 2 4 上的零点个数为 解析 作出函数f x 在 2 4 上的图象如图所示 则函数y f x 1在 2 4 上的零点个数即为f x 的图象与直线y 1在 2 4 上的交点的个数 由图象知 交点个数为7 变式 7 变式 函数零点的应用 例3 0 1 解析 作出函数f x 的图象如图所示 该图象与直线y k有两个交点时 0 k 1 此时关于x的方程f x k有两个不相等的实数根 故实数k的取值范围是 0 1 例3 1 2 已知函数f x 2ax2 2x 3 a 若函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求实数a的取值范围 思维引导 函数f x 的零点就是方程f x 0的根 据此 方程f x 0的根就是函数f x 与x轴交点的横坐标 图 1 图 2 例3 2 精要点评 1 本题考查利用数形结合思想判断方程的解的个数问题 准确作出相应函数的图象是解答此类问题的关键 2 将方程问题转化为函数问题 利用数形结合的思想方法来求解 变式 1 2 备用例题 精要点评 处理函数零点问题的常用方法 1 解方程法 令f x 0 求解 2 零点的存在性定理法 利用定理不仅要判断函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质才能确定 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 课堂评价 1 若函数y ax2 x 1只有一个零点 则实数a的取值集合为 2 2015 大同一中模拟 若函数f x log3x x 3的零点所在的区间是 n n 1 n z 则n 解析 由题知 f x 单调递增 又由f 2 log32 10 知f x 0的根在区间 2 3 内 即n 2 2 3 2015 吉林一中模拟 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 解析 设函数y ax a 0且a 1 和函数y x a 则函数f x