高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《合情推理与演绎推理》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.合情推理的考查常单独命题，以选择题、填空题的形式考查，如2012年江西t6，陕西t11，湖南t16等2.对演绎推理的考查则渗透在解答题中，侧重于对推理形式的考查.归纳知识整合1合情推理(1)归纳推理：定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点：类比推理是由特殊到特殊的推理探究1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验2演绎推理(1)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理探究2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论自测牛刀小试1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；三角形的内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n2)180.abc d解析：选c是类比推理，是归纳推理，是非合情推理2观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 013的末四位数字为()a3 125 b5 625c0 625 d8 125解析：选a553 125,5615 625,5778 125，58390 625，591 953 125，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m4k与5m(kn*，m5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 01345025，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.3给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()a0 b1c2 d3解析：选b不正确，正确4(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”，结论显然是错误的，这是因为()a大前提错误 b小前提错误c推理形式错误 d非以上错误解析：选a大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况5(教材习题改编)在abc中，不等式成立；在四边形abcd中，不等式成立；在五边形abcde中，不等式成立，猜想，在n边形a1a2an中，成立的不等式为_解析：932,1642,2552，且132,242,352，故在n边形a1a2an中，有不等式成立答案：(n3)归纳推理例1(1)(2012江西高考)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()a28b76c123 d199(2)设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明自主解答(1)记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nn*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，猜想f(x)f(1x)，证明：f(x)，f(1x).f(x)f(1x).答案(1)c利用本例(2)的结论计算f(2 014)f(2 013)f(1)f(0)f(1)f(2 015)的值解：f(x)f(1x)，f(2 014)f(2 013)f(1)f(0)f(1)f(2 015)f(2 014)f(2 015)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)2 015. 归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳1观察下列等式：可以推测：132333n3_(nn*，用含n的代数式表示)解析：第二列等式右边分别是11,33,66,1010，1515，与第一列等式右边比较即可得，132333n3(123n)2n2(n1)2.答案：n2(n1)2类比推理例2(2013广州模拟)已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，则可以得到bmn_.自主解答法一：设数列an的公差为d1，则d1.所以amnamnd1an.类比推导方法可知：设数列bn的公比为q，由bnbmqnm可知dcqnm，所以q，所以bmnbmqnc.法二：(直接类比)设数列an的公差为d1，数列bn的公比为q，因为等差数列中ana1(n1)d1，等比数列中bnb1qn1，因为amn，所以bmn.答案类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2在abc中，abac，adbc于点d.求证：.那么在四面体abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由证明：如图所示，abac，adbc，abdcad，abcdba，ad2bddc，ab2bdbc，ac2bcdc，.又bc2ab2ac2，.猜想：类比abac，adbc，猜想四面体abcd中，ab，ac，ad两两垂直，ae平面bcd，则.下面证明上述猜想成立如右图所示，连接be并延长交cd于点f，连接af.abac，abad，acada，ab平面acd.而af平面acd，abaf.在rtabf中，aebf，.同理可得在rtacd中，afcd，.故猜想正确演 绎 推 理例3已知函数f(x)(a0且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3) 的值自主解答(1)证明：函数f(x)的定义域为r，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称(2)由(1)可知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.则f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提3已知函数f(x)bx，其中a0，b0，x(0，)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性解：法一：设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1).当0x10，b0，x2x10,0x1x2b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是减函数；当x2x1 0时，x2x10，x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，b0，x(0，)，令f(x)b0，得x ，当0x 时，b，b0，即f(x)0，f(x)在上是减函数；当x 时，b0，即f(x)0，f(x)在上是增函数2个步骤归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；检验猜想(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；检验猜想1个区别合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确. 创新交汇合情推理与证明的交汇创新1归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新2解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验典例(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin 13cos 17；(2)sin215cos215sin 15cos 15；(3)sin218cos212sin 18cos 12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos 48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：(1)同法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.1本题的创新点(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式2解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，由得sin()sin()2sin cos .令a，b，有，代入得sin asin b2sincos.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos acos b2sinsin；(2)若abc的三个内角a，b，c满足cos 2acos 2b1cos 2c，试判断abc的形状(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)解：(1)因为cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，得cos()cos()2sin sin .令a，b，有，代入得cos acos b2sinsin.(2)由二倍角公式，cos 2acos 2b1cos 2c可化为12sin2a12sin2b112sin2c，所以sin2asin2csin2b.设abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2c2b2.根据勾股定理的逆定理知abc为直角三角形一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()a结论正确b大前提不正确c小前提不正确 d全不正确解析：选c由于f(x)sin(x21)不是正弦函数，故小前提不正确2(2013银川模拟)当x(0，)时可得到不等式x2，x23，由此可以推广为xn1，取值p等于()ann bn2cn dn1解析：选ax(0，)时可得到不等式x2，x23，在p位置出现的数恰好是不等式左边分母xn的指数n的指数次方，即pnn.3由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()a1b2c3d4解析：选b正确，错误4(2012江西高考)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()a76 b80c86 d92解析：选b通过观察可以发现|x|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|y|n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为80.5设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球的半径为r，四面体sabc的体积为v，则r()a. b.c. d.解析：选c设三棱锥的内切球球心为o，那么由vvoabcvosabvosacvosbc，即：vs1rs2rs3rs4r，可得：r.6已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()a(7,5) b(5,7)c(2,10) d(10,1)解析：选b依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n组整数对的和为n1，且有n个整数对，这样的前n组一共有个整数对，注意到60，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个整数对是(5,7)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2012陕西高考)观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列即1(nn*，n2)，所以第五个不等式为1.答案：1b0)与圆x2y2a2是夹在直线ya和ya之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为_解析：如图，任取一条与x轴平行的直线，设该直线与x轴相距h，则这条直线被椭圆截得的弦长l1，被圆截得的弦长l22，则，即.故s椭圆a2ab.答案：s2ms1ab三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10给出下面的数表序列： 其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解：表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列11已知椭圆具有性质：若m，n是椭圆c上关于原点对称的两个点，点p是椭圆上任意一点，当直线pm，pn的斜率都存在，并记为kpm，kpn时，kpm与kpn之积是与点p的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特征的性质，并加以证明解：类似的性质为：若m，n是双曲线1上关于原点对称的两个点，点p是双曲线上任意一点，当直线pm，pn的斜率都存在，并记为kpm，kpn时，kpm与kpn之积是与点p的位置无关的定值证明：设点m，p的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则n(m，n)因为点m(m，n)在已知的双曲线上，所以n2m2b2.同理：y2x2b2.则kpmkpn(定值)12观察：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：猜想sin2cos2(30)sin cos(30).证明：左边sin2cos(30)cos(30)sin sin2sin2cos2sin2右边所以，猜想是正确的1.正方形abcd的边长是a，依次连接正方形abcd各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从a点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段则这10条线段的长度的平方和是()a.a2 b.a2c.a2 d.a