高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《函数模型及其应用》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.函数模型考查的重点是函数模型的建立以及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求解最值，如2012年江苏t17等2.考查题型以解答题为主.归纳知识整合1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同探究1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢2你认为解答数学应用题的关键是什么？提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型自测牛刀小试1(教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加假设细菌a的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌b的数量每5个小时可以增加为原来的4倍现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌a的数量是b的数量的两倍，需要的时间为()a5 hb10 hc15 h d30 h解析：选b假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌a的数量是f(x)m2，细菌b的数量是g(x)m4，令m22m4，解得x10.2(教材习题改编)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61a.y2x bylog2xcy(x21) dy2.61cos x解析：选b通过检验可知，ylog2x较为接近3据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是()ay0.1x800(0x4 000)by0.1x1 200(0x4 000)cy0.1x800(0x4 000)dy0.1x1 200(0x4 000)解析：选dy0.2x(4000x)0.30.1x1 200.4(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是_解析：因为储蓄按复利计算，所以本利和y随存期x变化的函数关系式是ya(1r)x，xn*.答案：ya(1r)x，xn*5某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利_元解析：九折出售时价格为100(125%)90%112.5元，此时每件还获利112.510012.5元答案：12.5利用函数刻画实际问题例1如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()a1个b2个c3个 d4个自主解答将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图应该是匀速的，故下面的图象不正确，中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化规律是先快后慢再快，正确；中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的答案a用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可1一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()a bc d解析：选a由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是.利用已知函数模型解决实际问题例2(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由自主解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题2某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系式是p且该商品的日销售量q(件)与时间t(天)的函数关系式是qt40(0900，知ymax1 125，即在第25天日销售额最大，为1 125元.构建函数模型解决实际问题例3某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元)(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值自主解答(1)依题意yy此函数的定义域为(0,40)(2)y若0x20，则当x16时，ymax32 400(元)若20x4时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增，当x时，yf26.4；当x时，yf3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.快速规范审题第(1)问1审条件，挖解题信息观察条件：中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r，圆柱的母线为l，以及容器的体积r2ls球4r2，s圆柱2rl.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域球形部分的造价为4r2c，圆柱型部分的造价为2rl3.3建联系，找解题突破口总造价y球形部分的造价圆柱型部分的造价，即y4r2c2rl3由r2l解得l，故可得建造费用y8r24cr20r2，问题得以解决第(2)问1审条件，挖解题信息观察条件：建造费用y8r24cr2，定义域为(0,22审结论，明确解题方向观察所求结论：求该容器的建造费用最小时的r问题转化为：当r为何值时，y取得最小值3建联系，找解题突破口分析函数特点：含分式函数y16r8cr，0r2当r 时，y0分 2和0 0，导致定义域错误.vr2l，又v，(1分)所以r2l，解得l，(2分) 由于l2r易忽视导数为零的点与定义域的关系，即忽视对c的取值的讨论而造成解题错误.因此0r2.(3分)所以圆柱的侧面积为2rl2r，两端两个半球的表面积之和为4r2，所以建造费用y8r24cr2，定义域为(0,2(4分)(2)由(1)，得y16r8cr ，03，所以c20.当r30时，r .令 m，则m0.所以y(rm)(r2rmm2)(7分)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0，易忽视将问题“返本还原”，即没将函数的最小值还原为建造费用最小而草率收兵.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点(9分)当m2，即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点(11分)综上，当3时，建造费最小时r .(12分)答题模板速成解决函数实际应用问题的一般步骤：第一步审清题意弄清题意，理顺条件和结论，找到关键量，明确数量关系第二步找数量关系把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙第三步建数学模型将数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型第四步解数学问题利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论第五步返本还原将数学结论还原为实际问题本身所具有的意义(如本题应还原建造费用最小时r的值)第六步反思回顾查看关键点、易错点，如本题函数关系式，定义域，分类讨论等一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析：选c由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选c.2某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l15.06x0.15x2和l22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()a45.606万元b45.6万元c45.56万元 d45.51万元解析：选b设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，利润为l(x)5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.1520.1530，由于x为整数，所以当x10时，l(x)取最大值l(10)45.6，即能获得的最大利润为45.6万元3某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.01101.104 6)()a90万m2 b87万m2c85万m2 d80万m2解析：选b由题意86.6(万m2)87(万m2)4某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：买一副球拍赠送一个羽毛球；按总价的92%付款现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是()a不能确定 b同样省钱c省钱 d省钱解析：选d方法用款为42026580130210(元)方法用款为(420305)92%211.6(元)因为210211.6，故方法省钱5如图所示，点p在边长为1的正方形的边上运动，设m是cd边的中点，则当点p沿着abcm运动时，以点p经过的路程x为自变量，将三角形apm的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是()解析：选a当0x1时，yx1x；当1x2时，y1(x1)(2x)x；当2x2.5时，y1x.则y根据函数可以画出其大致图象，故选a.6(2013武汉模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段bc与两腰长的和)为y米要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()a2,4b3,4c2,5d3,5解析：选b根据题意知，9(adbc)h，其中adbc2bcx，hx，9(2bcx)x，得bc，由得2x6.由ybc2x10.5得3x4.3,42,6)，腰长x的范围是3,4二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.一高为h，满缸水量为v的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象可能是图中的_解析：当h0时，v0可排除、；由于鱼缸中间粗两头细，当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢答案：8有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙厚度不计)解析：设矩形的宽为x m，则矩形的长为2004x m(0x50)，面积sx(2004x)4(x25)22 500.故当x25时，s取得最大值2 500 (m2)答案：2 500 m29某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：如一次购物不超过200元，不予以折扣；如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款_元解析：由题意知付款432元，实际标价为432480元，如果一次购买标价176480656元的商品应付款5000.91560.85582.6元答案：582.6三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为(万元)则482 4832，当且仅当，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为r(x)万元，则r(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)r(x)在0,210上是增函数，x210时，r(x)有最大值为r(210)(210220)21 6801 660(万元)年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元11据气象中心观察和预测：发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段oc上一点t(t,0)作横轴的垂线l，梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)(1)当t4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若n城位于m地正南方向，且距m地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到n城如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到n城？如果不会，请说明理由解：(1)由图象可知：当t4时，v3412，s41224.(2)当0t10时，st3tt2；当10t20时，s103030(t10)30t150；当20t35时，s10301030(t20)30(t20)2(t20)t270t550.综上可知，s(3)t0,10时，smax102150650，t(10,20时，smax3020150450650，当t(20,35时，令t270t550650，解得t130，t240.20t35，t30，即沙尘暴发生30 h后将侵袭到n城12某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？解：(1)当0500时，f(x)0.05500500212x，故f(x)(2)当0500时，f(x)12x12，故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大1a，b两城相距100 km，在两城之间距a城x(km)处建一核电站给a，b两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若a城供电量为每月20亿度，b城为每月10亿度(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距a城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为10,90(2)y5x2(100x)2(10x90)(3)由y5x2(100x)2x2500x25 0002，得x时，ymin，即核电站建在距a城 km处，能使供电总费用y最少2目前某县有100万人，经过x年后为y万人如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关