高考数学提分秘籍 必记篇 空间几何体.doc

2014高考数学提分秘籍 必记篇：空间几何体高考对本节知识的考查主要有以下两个考向：1.三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.2.对于空间几何体的表面积与体积，由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点，题型一般为选择题或填空题1 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2 空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高看不到的线画虚线3 直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4 空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：s柱侧ch(c为底面周长，h为高)；s锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；s台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；s球表4r2(r为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：v柱体sh(s为底面面积，h为高)；v锥体sh(s为底面面积，h为高)；v台(ss)h(不要求记忆)；v球r3.考点一三视图与直观图的转化例1(1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为() (2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案(1)b(2)d解析(1)底面为正三角形，一侧棱垂直于底面由虚线知可能有一侧棱看不见由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是，故其侧视图只可能是选项b中的图形(2)如图所示，点d1的投影为c1，点d的投影为c，点a的投影为b，故选d.空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果(1)(2013课标全国)一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为()(2)(2012湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案(1)a(2)d解析(1)根据已知条件作出图形：四面体c1a1db，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示故选a.(2)根据几何体的三视图知识求解由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是d.考点二几何体的表面积及体积例2(1)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()a8 b6 c10 d8(2)(2013浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_ cm3.答案(1)c(2)24解析(1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥，sa平面abc，abc中abc90，saab4，bc3，因此图中四个面的三角形均为直角三角形，sb4，ac5，ssac10，ssab8，ssbc6，sabc6，所以最大面积是10.(2)由三视图可知，其直观图为：ab4，ac3，bac90，bc5.作ahbc于h，ah.作a1mbb1于m，a1ncc1于n.连接mn.v(53)(34)224. (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 (1)(2013江西)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a2009 b20018c1409 d14018(2)(2012辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案(1)a(2)38解析(1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成v10453222009.(2)将三视图还原为直观图后求解根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以s2(4312)2238.考点三多面体与球例3如图所示，平面四边形abcd中，abadcd1，bd，bdcd，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()a. b3 c. d2 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于bcd是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点a的距离等于这个点到b，c，d的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可答案a解析如图，取bd的中点e，bc的中点o，连接ae，od，eo，ao.由题意，知abad，所以aebd.由于平面abd平面bcd，aebd，所以ae平面bcd.因为abadcd1，bd，所以ae，eo.所以oa.在rtbdc中，obocodbc，所以四面体abcd的外接球的球心为o，半径为.所以该球的体积v()3.故选a. 多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点p，a，b，c构成的三条线段pa，pb，pc两两互相垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4r2a2b2c2求解(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()a12 b24 c32 d48(2)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_ 答案(1)d(2)16解析(1)由已知条件知该几何体的直观图如图所示，pa面abcd，pac、pbc、pcd均为直角三角形，且斜边相同，所以球心为pc中点o，oapcobod2.球的表面积为s4(oa)248.(2)该几何体是一个正三棱柱，底面边长为3，高为2.设其外接球的球心为o，上、下底面中心分别为b、c，则o为bc的中点，如图所示则ab3sin 60，bo1，该棱柱的外接球半径为r2，球的表面积是s4r216.1 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和2 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面3 一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)4 长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2r；(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2r.1 从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为()a5 b6c9 d10答案c解析由三视图知，其直观图为棱锥abcde.v2739.故选c.2 在三棱锥abcd中，侧棱ab，ac，ad两两垂直，abc，acd，abd的面积分别为，则三棱锥abcd的外接球体积为()a. b2 c3 d4答案a解析如图，以ab，ac，ad为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意解得长方体的对角线长为，三棱锥外接球的半径为.三棱锥外接球的体积为v()3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为()a2 b.c2 d4答案d解析直观图为等腰梯形，则上底设为x，高设为y，则s直观图y(x2yx)，由直观图可知原梯形为直角梯形，其面积s2y(x2yx)24.2 (2013湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()a. b1 c. d.答案d解析俯视图是面积为1的正方形，此正方体水平放置，又侧视图是面积为的矩形，正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为.3 (2013课标全国)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a168 b88c1616 d816答案a解析将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体所以v224224168.故选a.4 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()a. b. c. d.答案a解析该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体的体积v(12)(22)，故选a.5 (2012北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()a286 b306c5612 d6012答案b解析根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中ae平面bcd，cdbd，且cd4，bd5，be2，ed3，ae4.ae4，ed3，ad5.又cdbd，cdae，则cd平面abd，故cdad，所以ac且sacd10.在rtabe中，ae4，be2，故ab2.在rtbcd中，bd5，cd4，故sbcd10，且bc.在abd中，ae4，bd5，故sabd10.在abc中，ab2，bcac，则ab边上的高h6，故sabc266.因此，该三棱锥的表面积为s306.6 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为()a. b. c. d.答案a解析三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即v圆锥r2h12.故选a.7 已知正方形abcd的边长为2，将abc沿对角线ac折起，使平面abc平面acd，得到如右图所示的三棱锥bacd.若o为ac边的中点，m，n分别为线段dc，bo上的动点(不包括端点)，且bncm.设bnx，则三棱锥namc的体积yf(x)的函数图象大致是()答案b解析由平面abc平面acd，且o为ac的中点，可知bo平面acd，易知bo2，故三棱锥namc的高为on2x，amc的面积为mcacsin 45x，故三棱锥namc的体积为yf(x)(2x)x(x22x)(0x2)，函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分二、填空题8 (2012山东)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为_答案解析利用三棱锥的体积公式直接求解vd1edfvfdd1esd1deab111.9 (2013江苏)如图，在三棱柱a1b1c1abc中，d，e，f分别是ab，ac，aa1的中点，设三棱锥fade的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，则v1v2_.答案124解析设三棱锥fade的高为h，则.10已知矩形abcd的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线ac把acd折起，则三棱锥dabc的外接球的表面积等于_答案16解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立，此时四边形abcd为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.11已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为_答案解析据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中ba，bc，bp两两垂直，且babcbp1，(半)球的直径长为ac，该几何体的体积为vv半球vpabc()3babcpb.三、解答题12(2013福建)如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abdc，abad，bc5，dc3，ad4，pad60.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥pabcd的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若m为pa的中点，求证：dm平面pbc；(3)求三棱锥dpbc的体积(