浙江省中考数学总复习 第29讲 锐角三角函数与解直角三角形课件.ppt

第29讲锐角三角函数与解直角三角形 内容索引 基础诊断梳理自测 理解记忆 考点突破分类讲练 以例求法 易错防范辨析错因 提升考能 基础诊断 返回 知识梳理 1 1 锐角三角函数的意义rt abc中 设 c 90 为rt abc的一个锐角 则 的正弦 sin 的余弦 cos 的正切 tan 2 特殊角30 45 60 的三角函数值 可用以下口诀记忆 三十四五六十度 三角函数记心间 分母弦二切是三 分子要把根号添 一二三来三二一 切值三九二十七 正弦正切递增值 余弦递减恰相逆 3 锐角三角函数的性质 1 同角三角函数之间的关系 sin2 cos2 tan 2 互余两角的三角函数关系式 为锐角 sin 90 cos 90 3 锐角三角函数的增减性 0 90 sin tan 的值都随 增大而 cos 的值都随 增大而 cos sin 增大 减小 1 4 解直角三角形的概念及边角之间的关系由直角三角形中除直角外的已知元素 求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形 直角三角形中的边角关系 在rt abc中 c 90 a b c所对的边分别为a b c 则 边与边的关系 角与角的关系 a b 90 a2 b2 c2 5 直角三角形在现实生活中的应用直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用 它经常涉及测量 工程 航海 航空等 其中包括了一些概念 一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题 1 铅垂线 重力线方向的直线 2 水平线 与铅垂线垂直的直线 一般情况下 地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线 3 仰角 向上看时 视线与水平线的夹角 4 俯角 向下看时 视线与水平线的夹角 5 坡角 坡面与水平面的夹角 6 坡度 坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度 或坡比 一般情况下 我们用h表示坡的铅直高度 用l表示坡的水平宽度 用i表示坡度 即i tan 显然 坡度越大 坡角就越大 坡面也就越陡 7 方向角 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90 的锐角叫做方向角 1 2016 天津 sin60 的值等于 诊断自测 2 1 2 3 4 5 c 2 2016 广东 如图 在平面直角坐标系中 点a坐标为 4 3 那么cos 的值是 d 1 2 3 4 5 解析过点a作ab x轴于点b 则ab 3 ob 4 由勾股定理得 oa 5 则cos 1 2 3 4 5 3 2016 荆州 如图 在4 4的正方形方格图形中 小正方形的顶点称为格点 abc的顶点都在格点上 则图中 abc的余弦值是 d 解析由图可知 ac2 22 42 20 bc2 12 22 5 ab2 32 42 25 ac2 bc2 ab2 abc是直角三角形 且 acb 90 4 2014 随州 如图 要测量b点到河岸ad的距离 在a点测得 bad 30 在c点测得 bcd 60 又测得ac 100米 则b点到河岸ad的距离为 b 1 2 3 4 5 解析如答图 过点b作bm ad于点m bad 30 bcd 60 abc 30 ac bc 100 bm ad bmc 90 a 1 2 3 4 5 返回 5 2016 长沙 如图 热气球的探测器显示 从热气球a处看一栋楼顶部b处的仰角为30 看这栋楼底部c处的俯角为60 热气球a处与楼的水平距离为120m 则这栋楼的高度为 解析过点a作ad bc于点d 则 bad 30 cad 60 ad 120m 在rt abd中 bd adtan30 考点突破 返回 例1 2016 福州 如图 6个形状 大小完全相同的菱形组成网格 菱形的顶点称为格点 已知菱形的一个角 o 为60 a b c都在格点上 则tan abc的值是 考点一 锐角三角函数 答案 分析 分析如答图 连接ea ec 设菱形的边长为a 由题意得 aef 30 bef 60 规律方法 本题考查菱形的性质 三角函数 特殊三角形边角关系等知识 解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题 属于中考常考题型 规律方法 练习1 答案 分析 特殊角的三角函数值 考点二 例2 2016 大庆 一艘轮船在小岛a的北偏东60 方向距小岛80海里的b处 沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45 的c处 则该船行驶的速度为海里 小时 答案 分析 规律方法 分析如答图所示 设该船行驶的速度为x海里 时 3小时后到达小岛的北偏西45 的c处 由题意得 ab 80 bc 3x 在rt abq中 baq 60 b 30 答案 分析 规律方法 规律方法 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题 构造直角三角形 熟记特殊角30 45 角的三角函数值 通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键 规律方法 2016 潍坊 关于x的一元二次方程x2 x sin 0有两个相等的实数根 则锐角 等于 a 15 b 30 c 45 d 60 练习2 答案 分析 b 考点三解直角三角形的几何应用 答案 分析 36 分析 分析 afe和 ade关于ae对称 afe d 90 af ad ef de 在rt cef中 tan efc 可设ce 3x cf 4x 那么ef 5x de ef 5x dc de ce 5x 3x 8x ab dc 8x efc afb 90 baf afb 90 efc baf bc bf cf 10 x ad 10 x 在rt ade中 由勾股定理得 ad2 de2 ae2 即 10 x 2 5x 2 5 2 解得x 1 ab 8x 8 ad 10 x 10 矩形abcd的周长 8 2 10 2 36 折叠矩形 可以得到 轴对称 的图形 对于线段相等 对应角相等 对应的三角形全等 由锐角的正切值可以转化为相应直角三角形的直角边之比 在直角三角形中 利用勾股定理可以列出方程解决问题 规律方法 2016 苏州 如图 长4m的楼梯ab的倾斜角 abd为60 为了改善楼梯的安全性能 准备重新建造楼梯 使其倾斜角 acd为45 则调整后的楼梯ac的长为 练习3 答案 分析 b 例4 2016 广州 如图 某无人机于空中a处探测到目标b d 从无人机a上看目标b d的俯角分别为30 60 此时无人机的飞行高度ac为60m 随后无人机从a处继续飞行30m到达a 处 1 求a b之间的距离 解直角三角形的实际应用 考点四 答案 解由题意得 abd 30 adc 60 在rt abc中 ac 60m 答 a b之间的距离为120m 2 求从无人机a 上看目标d的俯角的正切值 答案 规律方法 规律方法 本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型 把实际问题转化为数学问题 要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形 注意方程思想与数形结合思想的应用 规律方法 2016 常德 南海是我国的南大门 如图所示 某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航 在a处测得北偏东30 方向上 距离为20海里的b处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行 便迅速沿北偏东75 的方向前往监视巡查 经过一段时间后 在c处成功拦截不明船只 问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里 最后结果保留整数 参考数据 cos75 0 2588 sin75 0 9659 tan75 3 732 1 732 1 414 练习4 答案 返回 答 我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里 易错防范 返回 试题如图 ad是bc边上的高 ad dc bd 1 2 3 求 bac的度数 易错警示系列29 添加辅助线 构造解直角三角形模型 错误答案展示不能添加辅助线将斜三角形的问题转化为解直角三角形的数学模型 从而无从下手 正确解答 剖析 剖析延长ba 过c作ce ab 只要求