高考数学考前押题 等比数列(1).doc

2014高考数学考前押题：等比数列等比数列的通项与性质1.公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于()(a)1(b)2(c)4(d)8解析:a3a11=16,数列an的各项都是正数,所以a7=4,又a7=a522,所以a5=1.答案:a2.若等比数列an满足anan+1=16n,则公比为()(a)2(b)4(c)8(d)16解析:数列an为等比数列,设公比为q,则anan+1=q=16n0,q0,=16=q2,q=4.故选b.答案:b3.等比数列an中,|a1|=1,a5=-8a2,a5a2,则an等于()(a)(-2)n-1(b)-(-2)n-1(c)(-2)n(d)-(-2)n解析:由于a5=a2q3=-8a2,q3=-8,q=-2.又|a1|=1,且a5a2,a1=1,因此an=a1qn-1=(-2)n-1,故选a.答案:a4.已知等比数列an为递增数列.若a10,且2(an+an+2)=5an+1,则数列an的公比q=.解析:数列an是递增数列,且a10,q1,2(an+an+2)=5an+1,2a1qn-1+2a1qn+1=5a1qn,2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去).答案:25.若等比数列an满足a2a4=,则a1a5=.解析:本小题主要考查数列的基本量运算与性质,由a2a4=,则a1a5=(a2a4)2=.答案:6.已知an是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.解析:a2=2,a4-a3=4a2q2-a2q=42q2-2q=4q2-q-2=0得q=2或q=-1(舍去).答案:2等比数列的前n项和及性质1.设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为sn,则()(a)sn=2an-1(b)sn=3an-2(c)sn=4-3an(d)sn=3-2an解析:由等比数列前n项和公式sn=知sn=3-2an.故选d.答案:d2.已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-,则an的前10项和等于()(a)-6(1-3-10)(b) (1-310)(c)3(1-3-10)(d)3(1+3-10)解析:由题意知=-,所示数列an为等比数列,则其公比为-,首项a1=4,由等比数列前n项和公式知s10=3(1-3-10).故选c.答案:c3设sn为等比数列an的前n项和,已知3s3=a4-2,3s2=a3-2,则公比q等于()(a)3(b)4(c)5(d)6解析:由题设条件,得3(s3-s2)=a4-a3,即3a3=a4-a3,q=4.故选b.答案:b4设sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则等于()(a)-11(b)-8(c)5(d)11解析:设数列an的公比为q.由8a2+a5=0,得a1q(8+q3)=0.又a1q0,q=-2.=-11.故选a.答案:a5.设数列an是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=.解析:因首项为1,公比为-2,所以a2=a1q=-2,a3=a1q2=1(-2)2=4,a4=a1q3=1(-2)3=-8,所以a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.答案:156.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nn*)等于.解析:本题是等比数列前n项和的实际应用题,设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可得100,即2n51,而25=32,26=64,nn*,所以n6.答案:67.若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和sn= .解析:由题意得用得q=2,a1=2,由等比数列求和公式得sn=2n+1-2.答案:22n+1-28.等比数列an的前n项和为sn,若s3+3s2=0,则公比q=.解析:由题意,q1,由s3+3s2=4a1+4a2+a3=a1(4+4q+q2)=a1(q+2)2=0,由a10知q=-2.答案:-29.在等比数列an中,若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+an=.解析:由等比数列通项公式得a4=a1q3,a1=,a4=4,q3=4.q=2,sn=2n-1-.答案:22n-1-10.已知数列an的前n项和sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列nan的前n项和tn.解:(1)由sn=kcn-k,得an=sn-sn-1=kcn-kcn-1(n2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),解得所以a1=s1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n2),于是an=2n.(2)tn=iai=i2i,即tn=2+222+323+424+n2n,tn=2tn-tn=-2-22-23-24-2n+n2n+1=-2n+1+2+n2n+1=(n-1)2n+1+2.11.设an是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4,(1)求an的通项公式;(2)设bn是首项为1,公差为2的等差数列,求数列an+bn的前n项和sn.解:(1)设q为等比数列an的公比,则由a1=2,a3=a2+4,得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2.所以an的通项公式为an=22n-1=2n(nn*).(2)bn是等差数列,b1=1,d=2,sn=a1+a2+an+b1+b2+bn=+n1+2=2n+1+n2-2.等比数列与其他知识的综合问题1. (1)已知两个等比数列an,bn,满足a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列an唯一,求a的值;(2)是否存在两个等比数列an,bn,使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?若存在,求an,bn的通项公式;若不存在,说明理由.解:(1)设等比数列an的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),即aq2-4aq+3a-1=0, (*)由a0得=4a2+4a0,故方程(*)有两个不同的实数根,再由an唯一,知方程(*)必有一根为0,将q=0代入方程(*)得a=.(2)假设存在两个等比数列an,bn使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列,设等比数列an的公比为q1,等比数列bn的公比为q2,则b2-a2=b1q2-a1q1,b3-a3=b1-a1,b4-a4=b1-a1,b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差数列,得即即q2-得a1(q1-q2)(q1-1) 2=0,由a10得q1=q2或q1=1.()当q1=q2时由得b1=a1或q1=q2=1,这时(b2-a2)-(b1-a1)=0与公差不为0矛盾.()当q1=1时,由得b1=0或q2=1,这时(b2-a2)-(b1-a1)=0与公差不为0矛盾.综上所述,不存在两个等比数列anbn使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列.2.已知等差数列an的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mn*,将数列an中不大于72m的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和sm.解:(1)设数列an的公差为d,前n项和为tn,t5=105,a10=2a5,解得a1=7,d=7,an=7+(n-1)7=7n(nn*).(2)对mn*由an=7n72m,得n72m-1,即bm=72m-1=749m-1数列bm是首项为7,公比为49的等比数列,sm= (49m-1)= .3.等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=an+(-1)nln an,求数列bn的前2n项和s2n.解:(1)当a1=3时,不合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;当a1=10时,不合题意.因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3.故an=23n-1.(2)因为bn=an+(-1)nln an,=23n-1+(-1)nln(23n-1)=23n-1+(-1)nln 2+(n-1)ln 3=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nn ln 3.所以s2n=b1+b2+b2n=2(1+3+32n-1)+-1+1-1+(-1)2n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)2n2nln 3=2+nln 3=32n+nln 3-1.等比数列的通项与性质1.已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于()(a)5(b)7(c)6(d)4解析:由a1a2a3=5,a7a8a9=10,且各项均为正数,得=5,=10,又a4a5a6=,所以=510=50,即=(a2a8)3=50,所以=5.故选a.答案:a2.在各项均为正数的等比数列an中,a3=-1,a5=+1,则+2a2a6+a3a7等于()(a)4(b)6(c)8(d)8-4解析:在等比数列中,a3a7=,a2a6=a3a5,所以+2a2a6+a3a7=+2a3a5+=(a3+a5)2=(-1+1)2=(2)2=8.故选c.答案:c3.已知等比数列an的公比q为正数,且2a3+a4=a5,则q的值为()(a) (b)2(c)(d)3解析:由2a3+a4=a5,得2a1q2+a1q3=a1q4,又q0,a10,q2-q-2=0,q=2,故选b.答案:b4.已知等比数列an中,a2=,a3=,ak=,则k等于()(a)5(b)6(c)7(d)8解析:依题意,设公比为q,则由a2=,a3=,得q=,a1=1,ak=()k-1=,解得k=7,故选c.答案:c5已知数列an满足:a1=1,a2=2,2an=an-1+an+1(n2,nn*),数列bn满足b1=2,anbn+1=2an+1bn.(1)求数列an的通项an;(2)求证:数列为等比数列,并求数列bn的通项公式.解:(1)2an=an-1+an+1,数列an为等差数列.又a1=1,a2=2,所以d=a2-a1=2-1=1,数列an的通项an=a1+(n-1)d=1+(n-1)1=n.(2)an=n,nbn+1=2(n+1)bn,=2,所以数列是以=2为首项,q=2为公比的等比数列,=22n-1,bn=n2n. 等比数列的前n项和及性质1.设等比数列an中,前n项和为sn,已知s3=8,s6=7,则a7+a8+a9等于()(a)(b)-(c)(d)解析:因为a7+a8+a9=s9-s6,在等比数列中s3,s6-s3,s9-s6也成等比数列,即8,-1,s9-s6成等比数列,所以有8(s9-s6)=1,即a7+a8+a9=s9-s6=.故选a.答案:a2.设sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且s1,s2,s4成等比数列,则等于()(a)1(b)2(c)3(d)4解析:因为s1,s2,s4成等比数列,所以s1s4=,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,即d2=2a1d,d=2a1,所以=3.故选c.答案:c3.等比数列an的前n项和为sn,若s1、s3、s2成等差数列,则an的公比等于()(a)1(b)(c)-(d) 解析:设等比数列an的公比为q,由2s3=s1+s2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,解得q=-或q=0(舍去).故选c.答案:c4.已知等比数列an满足an0(nn*),且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a5+log2a2n-1等于()(a)(n+1)2(b)n2(c)n(2n-1)(d)(n-1)2解析:由等比数列的性质可知a5a2n-5=,又a5a2n-5=22n,所以an=2n.又log2a2n-1=log222n-1=2n-1,所以log2a1+log2a3+log2a5+log2a2n-1=1+3+5+(2n-1)= =n2,故选b.答案:b5.已知an是首项为1的等比数列,sn是an的前n项和,且9s3=s6,则数列的前5项和为()(a)(b)(c) (d)解析:设等比数列an的公比为q,9s3=s6,8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6,8=q3,即q=2,an=2n-1,=n-1,数列是首项为1,公比为的等比数列,故数列的前5项和为=.故选b.答案:b6.数列an满足a1=2,且对任意的m,nn*,都有=an,则a3=;an的前n项和sn=.解析:由=an可得=a1,所以a2=22=4.所以a3=a1a2=24=8.由=an得=am,令m=1,得=a1=2,即数列an是公比为2的等比数列,所以sn=2n+1-2.答案:82n+1-27.已知数列an的前n项和为sn,且有a1=2,sn=2an-2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=nan,求数列bn的前n项和tn.解:(1)sn=2an-2,sn-1=2an-1-2(n2),an=2an-1,=2(n2).又a1=2,an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=22n-1=2n.(2)bn=n2n,tn=121+222+323+n2n,2tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1.两式相减得,-tn=21+22+2n-n2n+1,-tn=-n2n+1=(1-n)2n+1-2,tn=2+(n-1)2n+1.等比数列与其他知识的综合1.已知数列an为等比数列,且a1a13+2=4,则tan(a2a12)的值为()(a)(b)-(c)(d)-解析:a1a13=,a2a12=,=,tan(a2a12)=tan =tan =,故选c.答案:c2.数列an的前n项和记为sn,a1=t,点(sn,an+1)在直线y=3x+1上,nn*.(1)当实数t为何值时,数列an是等比数列?(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,tn是数列cn的前n项和,求tn.解:(1)点(sn,an+1)在直线y=3x+1上,an+1=3sn+1,an=3sn-1+1(n1),an+1-an=3(sn-sn-1)=3an,an+1=4an,a2=3s1+1=3a1+1=3t+1,当t=1时,a2=4a1,数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,tn=c1+c2+cn=(40+1)+(41+2)+(4n-1+n)=(1+4+42+4n-1)+(1+2+3+n)=+.3.在等比数列an中,a2a3=32,a5=32.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为sn,求s1+2s2+nsn.解:(1)设等比数列an的首项为a1,公