高考数学总复习 课时作业31 新人教版.doc

课时作业(31)1空间四点a，b，c，d中，每两点所连线的长都等于a，动点p在线段ab上，动点q在线段cd上，则p与q的最短距离为()a.ab.ac.a da答案b解析易知，以a，b，c，d为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，如右图所示，取p，q分别为ab，cd的中点，因为aqbqa，所以pqab.同理可证pqcd，故线段pq的长为p，q两点间的最短距离在rtapq中，pqa.故应选b.2. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体abcoabcd，ac的中点e与ab的中点f的距离为()a.a b.aca d.a答案b解析由图易知a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，a(a,0，a)f(a，0)，e(，)|ef|a.3在直角坐标系中，a(2,3)，b(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则ab的长度为()a. b2c3 d4答案b解析设a、b在x轴上的射影分别为c、d，则ac3，bd2，cd5，又，所夹的角为60，易求得|2.4如图所示，平面平面，a，b，ab与两平面、所成的角分别为和.过a、b分别作两平面交线的垂线，垂足为a、b，则abab等于()a21 b31c32 d43答案a解析在rtabb中，ababsinab.在rtaba中，aaabsinab.在rtaab中，abab.abab21.5如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，若e、f分别是bc、dd1的中点，则b1到平面abf的距离为()a. b.c. d.答案d解析方法一由vb1abfvfabb1可得解方法二建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,1)，b1(1,1,0)设f(0,0，)，e(，1,1)，b(1,1,1)，(0,1,0)(，0,1)，(1,0，)(1,0，)(，0,1)0，又，平面abf.平面abf的法向量为(，0,1)，(0,1，1)b1到平面abf的距离为.6(2013济南统考)等腰rtabc中，abbc1，m为ac中点，沿bm把它折成二面角，折后a与c的距离为1，则二面角cbma的大小为()a30 b60c90 d120答案c解析如图，由abbc1，abc90，得ac.m为ac中点，mcam，且cmbm，ambm.cma为二面角cbma的平面角ac1，mcma，cma90.7二面角l为60，a，b是棱l上的两点，ac，bd分别在半平面，内，acl，bdl，且abaca，bd2a，则cd的长为()a2a b.aca d.a答案a解析|2a.8长方体abcda1b1c1d1的8个顶点在同一个球面上，且ab2，ad，aa11，则顶点a、b间的球面距离是_答案解析(2r)2ab2ad2aa4318，r.又|ab|2，aob.l|r.9如图，已知长方体abcda1b1c1d1，ab2，aa11，直线bd与平面aa1b1b所成的角为30，ae垂直bd于e，f为a1b1的中点(1)求异面直线ae与bf所成的角；(2)求平面bdf与平面aa1b所成二面角(锐角)的大小；(3)求点a到平面bdf的距离解析方法一(1)连接b1d1，过f作b1d1的垂线，垂足为k，bb1与两底面abcd，a1b1c1d1都垂直，fk平面bdd1b1.又ae平面bdd1b1，因此fkae，bfk为异面直线bf与ae所成的角，连接bk，由fk面bdd1b1，得fkbk.从而bkf为rt.在rtb1kf和rtb1d1a1中，由，得fk.又bf，cosbfk.异面直线bf与ae所成的角为arccos.(2)由于da面aa1b，过点a作bf的垂线ag，垂足为g，连接dg，由三垂线定理知bgdg.agd即为平面bdf与平面aa1b所成二面角的平面角且dag90，在平面aa1b中，延长bf与aa1的延长线交于点s，f为a1b1的中点，a1fab，a1、f分别为sa、sb的中点，即sa2a1a2ab.rtbas为等腰直角三角形，垂足g点实为斜边sb的中点f，即f、g重合易得agafsb.在rtagd中，ad.tanagd.agdarctan.即平面bdf与平面aa1b所成二面角(锐角)的大小为arctan.(3)由(2)知平面afd是平面bdf与平面aa1b所成二面角的平面角所在的平面面afd面bdf.在rtadf中，由a作ahdf于h，则ah即为点a到平面bdf的距离由ahdfadaf，得ah.所以点a到平面bdf的距离为.方法二在长方体abcda1b1c1d1中，以ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，aa1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(如图)由已知ab2，aa11，可得a(0,0,0)、b(2,0,0)、f(1,0,1)又ad平面aa1b1b，从而bd与平面aa1b1b所成的角即为dba30，又ab2，aebd，ae1，ad.从而易得e(，0)，d(0，0)(1)(，0)，(1,0,1)cos，.即异面直线ae、bf所成的角为arccos.(2)易知平面aa1b的一个法向量m(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面bdf的一个法向量(2，0)由取n(1，1)，cosm，n.即平面bdf与平面aa1b所成二面角(锐角)大小为arccos.(3)点a到平面bdf的距离，即在平面bdf的法向量n上的投影的绝对值所以距离d|cos，n|.所以点a到平面bdf的距离为.10如下图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，acbca，d、e分别为棱ab、bc的中点，m为棱aa1上的点，二面角mdea为30.(1)证明：a1b1c1d；(2)求ma的长，并求点c到平面mde的距离解析(1)证明：连接cd.三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，cc1平面abc.cd为c1d在平面abc内的射影abc中，acbc，d为ab中点，abcd，abc1d.a1b1ab，a1b1c1d.(2)方法一过点a作ce的平行线，交ed的延长线于f，连接mf.d、e分别为ab、bc的中点，deac.又afce，ceac，afde.ma平面abc，af为mf在平面abc内的射影mfde.mfa为二面角mdea的平面角，mfa30.在rtmaf中，afbc，mfa30，ama.作agmf，垂足为g.mfde，afde，de平面amf.平面mde平面amf.ag平面mde.在rtgaf中，gfa30，af.ag，即a到平面mde的距离为.cade，ca平面mde.c到平面mde的距离与a到平面mde的距离相等，为.方法二过点a作ce的平行线，交ed的延长线于f，连接mf.d、e分别为ab、cb的中点，deac.又afce，ceac，afde.ma平面abc.af为mf在平面abc内的射影，mfde.mfa为二面角mdea的平面角，mfa30.在rtmaf中，afbc，mfa30，ama.设c到平面mde的距离为h.vmcdevcmde，scdemasmdeh，scdecede，maa，smdedemfdea2.aa2h.h，即c到平面mde的距离为.11已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面边长为2，侧棱长为4，e、f分别为棱ab、bc的中点(1)求证：平面b1ef平面bdd1b1；(2)求点d1到平面b1ef的距离解析(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0,0,0)，b(2，2，0)，e(2，0)，f(，2，0)，d1(0,0,4)，b1(2，2，4)(，0)，(2，2，0)，(0,0,4)0，0.efdb，efdd1，dd1bdd.ef平面bdd1b1.又ef平面b1ef，平面b1ef平面bdd1b1.(2)由(1)知(2，2，0)，(，0)，(0，4)设平面b1ef的法向量为n，且n(x，y，z)，则n，n.即n(x，y，z)(，0)xy0，n(x，y，z)(0，4)y4z0.令x1，则y1，z.n(1,1，)，d1到平面b1ef的距离d.12(2012重庆)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab4，acbc3，d为ab的中点(1)求点c到平面a1abb1的距离；(2)若ab1a1c，求二面角a1cdc1的平面角的余弦值解析(1)由acbc，d为ab的中点，得cdab.又cdaa1.故cd平面a1abb1，所以点c到平面a1abb1的距离为cd.(2)方法一如图，取d1为a1b1的中点，连接dd1，则dd1aa1cc1.又由(1)知cd面a1abb1，故cda1d，cddd1，所以a1dd1为所求的二面角a1cdc1的平面角因a1d为a1c在面a1abb1上的射影，又已知ab1a1c，由三垂线定理的逆定理得ab1a1d，从而a1ab1、a1da都与b1ab互余，因此a1ab1a1da，所以rta1adrtb1a1a.因此，即aaada1b18，得aa12.从而a1d2.所以，在rta1dd1中，cosa1dd1.方法二如图，过d作dd1aa1交a1b1于d1，在直三棱柱中，易知db，dc，dd1两两垂直以d为原点，射线db，dc，dd1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.设直三棱柱的高为y，则a(2,0,0)，a1(2,0，h