高二上学期期末考试数学试卷(中等偏难).doc

高二上学期期末考试数学试卷 一、选择题（共10小题；共30分）1. 已知直线 l1:x+y+1=0,l2:x+y1=0，则 l1,l2 之间的距离为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2. 命题若 =4 ，则 tan=1 的逆否命题是( )A. 若 4 ，则 tan1B. 若 =4 ，则 tan1C. 若 tan1，则 4D. 若 tan1，则 =4 3. 椭圆 x225+y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为( )A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A. pq B. pq C. pq D. pq 5. 已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“ m ”是“ ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 在圆 x2+y2+2x4y=0 内，过点 0,1 的最短弦所在直线的倾斜角是( )A. 6 B. 4 C. 3 D. 34 7. 如图，在正方形 ABCD 内作内切圆 O，将正方形 ABCD，圆 O 绕对角线 AC 旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为 V1，V2，则 V1:V2= A. 2:3 B. 22:3 C. 2:3 D. 2:1 8. 给出下列四个命题：分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是( )A. 和B. 和C. 和D. 和 9. 在棱长为 2 的正方体内有一四面体 ABCD，其中 B,C 分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体 ABCD 的体积为 A. 83 B. 2 C. 43 D. 1 10. 设点 A，B 分别在直线 3xy+5=0 和 3xy13=0 上运动，线段 AB 的中点 M 恒在直线 x+y=4 上或者其右上方区域则直线 OM 斜率的取值范围是 ( )A. 13,1 B. 1,3 C. ,13,+ D. ,113,+ 二、填空题（共7小题；共21分）11. 已知 l1:x+ay+6=0 和 l2:a2x+3y+2a=0，则 l1l2 的充要条件是 12. 直线 l 经过 P2,3，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程为 13. 若“ x21 ”是“ xb0 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，若 ABF2 为正三角形，则椭圆的离心率是 15. 当实数 x,y 满足 x+2y40,xy10,x1 时，1ax+y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是 16. 如果圆 C:xa2+ya2=4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围为 17. 如图，已知边长为 2 的正 ABC，顶点 A 在平面 内，顶点 B,C 在平面 外的同一侧，点 B,C 分别为 B,C 在平面 上的投影，设 BBCC，直线 CB 与平面 ACC 所成的角为 若 ABC 是以 A 为直角的直角三角形，则 tan 的范围为 三、解答题（共5小题；共49分）18. 已知命题“若 a0，则 x2+xa=0 有实根”写出命题的逆否命题并判断其真假 19. 已知三角形 ABC 中，AB=2，AC=2BC(1) 求点 C 的轨迹方程；(2) 求三角形 ABC 的面积的最大值 20. 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点(1) 求证：AB1平面A1BD；(2) 求二面角 AA1DB 的正弦值 21. 已知直线 l 的方程为 2x+1+my+2m=0，mR，点 P 的坐标为 1,0(1) 求点 P 到直线 l 的距离的最大值；(2) 设点 P 在直线 l 上的射影为点 M，N 的坐标为 2,1，求线段 MN 长的取值范围 22. 如图，已知边长为 4 的菱形 ABCD 中，ACBD=O，ABC=60将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起得到三棱锥 DABC，设二面角 DACB 的大小为 (1) 当 =90 时，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值；(2) 当 =60 时，求直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值答案第一部分1. B2. C3. C4. D5. A6. B7. D8. A9. D10. B第二部分11. a=1 12. 3x2y=0 或 x+2y8=0 13. 1 14. 33 15. 1,32 16. 322a22 或 22a322 17. 22,32 第三部分18. (1) 解法一：原命题：若 a0，则 x2+xa=0 有实根逆否命题：若 x2+xa=0 无实根，则 a0判断如下： x2+xa=0 无实根， =1+4a0，a140， “若 x2+xa=0 无实根，则 a0， 方程 x2+xa=0 的判别式 =4a+10， 方程 x2+xa=0 有实根故原命题“若 a0，则 x2+xa=0 有实根”为真又因原命题与其逆否命题等价， “若 a0，则 x2+xa=0 有实根”的逆否命题为真19. (1) 以 AB 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A1,0，B1,0设 Cx,y，由 AC=2BC，得 x32+y2=8（y0），即为点 C 的轨迹方程，所以点 C 的轨迹是以 3,0 为圆心，半径为 22 的圆，去掉与 y 轴的交点19. (2) 由于 AB=2，所以 SABC=122y=y，因为 x32+y2=8，所以 y22，所以 SABC22，即三角形 ABC 的面积的最大值为 2220. (1) 取 BC 中点 O，连接 AO ABC 为正三角形， AOBC 正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面ABC平面BCC1B1， AO平面BCC1B1 连接 B1O，在正方形 BB1C1C 中，O，D 分别为 BC，CC1 的中点， B1OBD， AB1BD 在正方形 ABB1A1 中，AB1A1B， AB1平面A1BD20. (2) 设 AB1 与 A1B 交于点 G，在平面 A1BD 中，作 GFA1D 于 F，连接 AF由（1）得 AB1平面A1BD AFA1D， AFG 为二面角 AA1DB 的平面角在 AA1D 中，由等面积法可求得 AF=455，又 AG=12AB1=2， sinAFG=AGAF=2455=10421. (1) 由 2x+1+my+2m=0 得 2x+y+my+2=0，所以直线 l 恒过直线 2x+y=0 与直线 y+2=0 交点 Q，解方程组 2x+y=0,y+2=0. 得 Q1,2，所以直线 l 恒过定点，且定点为 Q1,2设点 P 在直线 l 上的射影为点 M，则 PMPQ，当且仅当直线 l 与 PQ 垂直时，等号成立，所以点 P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度为 2221. (2) 因为直线 l 绕着点 Q1,2 旋转，所以点 M 在以线段 PQ 为直径的圆上，其圆心为点 C0,1，半径为 2，因为 N 的坐标为 2,1，所以 CN=22，从而 2MN3222. (1) 方法一：由题意可知二面角 DACB 的平面角为 DOB，即 DOB=当 =90 时，即 DOB=90，分别取 DC，BD 的中点 M，N，连接 OM，MN，ON， OMAD，MNBC， OMN 为异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角，在 OMN 中，OM=2，MN=2，ON=6， cosOMN=14，即异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 14方法二：如图建立空间直角坐标系 Oxyz，由题意可知 A2,0,0,D0,0,23,B0,23,0,C2,0,0， AD=2,0,23,BC=2,23,0， cosAD,BC=14，即异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 1422. (2) 方法一：当 =60 时，即 DOB=60，由题意可知 AC平面DOB，DOB 为等边三角形，取 OB 的中点 H，则有 DH平面ABC，且 DH=3， VDABC=VCABD，即 13SABCDH=13SABDd（其中 d 为点 C 到平面 ABD 的距离）， d=121313，即直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值 31313方法二：如图建立空间直角坐标系 Oxyz，题意可知 A2,0,0，D0,3,