全国各地中考数学试卷解析分类汇编（第1期）专题42 综合性问题.doc

专题42 综合性问题一.选择题1（2015湖北省武汉市，第10题3分）如图，abc、efg均是边长为2的等边三角形，点d是边bc、ef的中点，直线ag、fc相交于点m当efg绕点d旋转时，线段bm长的最小值是（ ）abcd1.d 【解析】先考虑让efg和bca重合，然后把efg绕点d顺时针旋转，连结ag、dg，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现adg=fdc,da=dg，df=dc，故dfc=dcf=dag=dga.又根据等腰三角形的“三线合一”可知fdg=90，所以dfg+dgf=90，即dfc+cfg+dgf=90. 所以amc=mgf+cfg=agd+dgf+cfg=dfc +dgf+cfg =90.故点m始终在以ac为直径的圆上，作出该圆，设圆心为o，连结bo与o相交于点p，线段bp的长即为线段bm长的最小值.bp=aoop=1，故选d.【难点突破】本题发现点m始终在以ac为直径的圆上是解题的重要突破口.考虑让efg和bca重合，然后把efg绕点d顺时针旋转，借助旋转的性质找出解题思路是分析有关旋转问题的重要方法.2 （2015广东佛山,第10题3分）下列给出5个命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形六边形的内角和等于720相等的圆心角所对的弧相等顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等其中正确命题的个数是（ ）a2个b3个c4个d5个 考点：命题与定理分析：根据正方形的判定方法对进行判断；根据多边形的内角和公式对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法对进行判断；根据三角形内心的性质对进行判断解答：解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以错误；六边形的内角和等于720，所以正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以错误；顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以正确；三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以错误故选a点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 3（2015甘肃武威,第6题3分）下列命题中，假命题是（ ）a平行四边形是中心对称图形b三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等c对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差d若x2=y2，则x=y 考点：命题与定理；有理数的乘方；线段垂直平分线的性质；中心对称图形；用样本估计总体分析：根据平行四边形的性质、三角形外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可解答：解：a、平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，故该命题是真命题；b、三角形三边的垂直平分线相交于一点，为三角形的外心，这点到三角形三个顶点的距离相等，故该命题是真命题；c、用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差，故该命题是真命题；d、若x2=y2，则x=y，不是x=y，故该命题是假命题；故选d点评：本题考查了命题真假的判断，属于基础题根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项4. （2015浙江嘉兴，第10题4分）如图，抛物线y=x2+2x+m+1交x轴于点a（a，0）和b（b，0），交y轴于点c，抛物线的顶点为d.下列四个判断：当x0时，y0；若a=1，则b=4；抛物线上有两点p（x1,y1）和q（x2,y2），若x112，则y1 y2；点c关于抛物线对称轴的对称点为e，点g，f分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形edfg周长的最小值为62，其中正确判断的序号是（）（a）（b）（c）（d）考点：二次函数综合题.分析：根据二次函数所过象限，判断出y的符号；根据a、b关于对称轴对称，求出b的值；根据1，得到x11x2，从而得到q点距离对称轴较远，进而判断出y1y2；作d关于y轴的对称点d，e关于x轴的对称点e，连接de，de与de的和即为四边形edfg周长的最小值求出d、e、d、e的坐标即可解答解答：解：当x0时，函数图象过二四象限，当0xb时，y0；当xb时，y0，故本选项错误；二次函数对称轴为x=1，当a=1时有=1，解得b=3，故本选项错误；x1+x22，1，又x11x2，q点距离对称轴较远，y1y2，故本选项正确；如图，作d关于y轴的对称点d，e关于x轴的对称点e，连接de，de与de的和即为四边形edfg周长的最小值当m=2时，二次函数为y=x2+2x+3，顶点纵坐标为y=1+2+3=4，d为（1，4），则d为（1，4）；c点坐标为c（0，3）；则e为（2，3），e为（2，3）；则de=；de=；四边形edfg周长的最小值为+，故本选项错误故选c点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路径问题等，值得关注5(2015深圳，第12题 分)如图，已知正方形abcd的边长为12，be=ec，将正方形边cd沿de折叠到df，延长ef交ab于g，连接dg，现在有如下4个结论：adgfdg；gb=2ag；gdebef；sbef=。在以上4个结论中，正确的有（ ）a、 b、 c、 d、【答案】c.【解析】由折叠可知，dedcda，defc90dfga906 (2015河南，第15题3分)如图，正方形abcd的边长是16，点e在边ab上，ae=3，点f是边bc上不与点b、c重合的一个动点，把ebf沿ef折叠，点b落在b处，若cdb恰为等腰三角形，则db的长为 .efcdba第15题b 【分析】若cd恰为等腰三角形，判断以cd为腰或为底边分为三种情况：db=dc；cb=cd；cb=db，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.16或【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.根据题意，若cd恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若db=dc时，则db=16（易知点f在bc上且不与点c、b重合） ；（2）当cb=cd时，eb=eb，cb=cb点e、c在bb的垂直平分线上，ec垂直平分bb，由折叠可知点f与点c重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当cb=db时，作bgab与点g，交cd于点h.abcd，bhcd，cb=db，dh=cd=8，ag=dh=8，ge=agae=5，在rtbeg中，由勾股定理得bg=12，bh=ghbg=4.在rtbdh中，由勾股定理得db=，综上所述db=16或. 第15题解图7(2015黑龙江绥化，第9题 分)如图 ，在矩形abcd中 ，ab=10 , bc=5 若点m、n分别是线段acab上的两个动点 ， 则bm+mn的最小值为（ ）a 10 b 8 c 5 d 6考点：轴对称最短路线问题分析：根据轴对称求最短路线的方法得出m点位置，进而利用勾股定理及面积法求出cc的值，然后再证明bcdcnc进而求出cn的值，从而求出mc+nm的值解答：解：如图所示：由题意可得出：作c点关于bd对称点c，交bd于点e，连接bc，过点c作cnbc于点n，交bd于点m，连接mc，此时cm+nm=cn最小，ab=10，bc=5，在rtbcd中，由勾股定理得：bd=5，sbcd=bccd=bdce，ce=2，cc=2ce，cc=4，ncbc，dcbc，cebd，bnc=bcd=bec=bec=90，ccn+ncc=cbd+ncc=90，ccn=cbd，bcdcnc，即，nc=8，即bm+mn的最小值为8故选b点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用，利用轴对称得出m点与n点的位置是解题的关键8(2015黑龙江绥化，第10题 分)如图abcd的对角线acbd交于点o ,平分bad交bc于点e ,且adc=600，ab=bc ,连接oe 下列 结论：cad=300 sabcd=abac ob=ab oe=bc 成立的个数有（ ）a 1个 b 2个 c 3个 d 4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形分析：由四边形abcd是平行四边形，得到abc=adc=60，bad=120，根据ae平分bad，得到bae=ead=60推出abe是等边三角形，由于ab=bc，得到ae=bc，得到abc是直角三角形，于是得到cad=30，故正确；由于acab，得到sabcd=abac，故正确，根据ab=bc，ob=bd，且bdbc，得到abob，故错误；根据三角形的中位线定理得到oe=ab，于是得到oe=bc，故正确解答：解：四边形abcd是平行四边形，abc=adc=60，bad=120，ae平分bad，bae=ead=60abe是等边三角形，ae=ab=be，ab=bc，ae=bc，bac=90，cad=30，故正确；acab，sabcd=abac，故正确，ab=bc，ob=bd，bdbc，abob，故错误；ce=be，co=oa，oe=ab，oe=bc，故正确故选c点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键二.填空题1 (2015黑龙江绥化，第18题 分)如图正方形abcd的对角线相交于点o ，cef是正三角形，则cef=_考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质分析：根据正方形、等边三角形的性质，可得ao=bo，oe=of，根据sss可得aoebof，根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案解答：解：四边形abcd是正方形，oa=ob，aob=90oef是正三角形，oe=of，eof=60在aoe和bof中，aoebof（sss），aoe=bof，aoe=（aobeof）2=（9060）2=15，故答案为15点评：本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用sss证明三角形全等得出aoe=bof是解题的关键2(2015黑龙江绥化，第21题 分)在矩形abcd中 ，ab=4 , bc=3 , 点p在ab上。若将dap沿dp折叠 ，使点a落在矩形对角线上的处 ，则ap的长为_考点：翻折变换（折叠问题）专题：分类讨论分析：分两种情况探讨：点a落在矩形对角线bd上，点a落在矩形对角线ac上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案解答：解：点a落在矩形对角线bd上，如图1，ab=4，bc=3，bd=5，根据折叠的性质，ad=ad=3，ap=ap，a=pad=90，ba=2，设ap=x，则bp=4x，bp2=ba2+pa2，（4x）2=x2+22，解得：x=，ap=；点a落在矩形对角线ac上，如图2，根据折叠的性质可知dpac，dapabc，ap=故答案为：或点评：本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键3.（2015四川成都,第25题4分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）方程是倍根方程；若是倍根方程，则；若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.【答案】【解析】：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于， ，因此本选项错误；对于，而，因此本选项正确；对于，显然，而，因此本选项正确；对于，由，知 ，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，因此本选项错误。综上可知，正确的选项有：。4. （2015浙江嘉兴，第16题5分）如图，在直角坐标系xoy中，已知点a（0,1），点p在线段oa上，以ap为半径的p周长为1.点m从a开始沿p按逆时针方向转动，射线am交x轴于点n（n，0），设点m转过的路程为m（0mda,da=2.点p、q同时从d点出发，以相同的速度分别沿射线dc、射线da运动。过点q作ac的垂线段qr,使qr=pq,联接pr.当点q到达a时，点p、q同时停止运动。设pq=x.pqr和abc重合部分的面积为s.s关于x的函数图像如图2所示（其中0x，xm时，函数的解析式不同）填空：n的值为_;求s关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。 图1 图2（第24题）【答案】(1)（2）当0x时，s=，当x4时，s=【解析】解：(1)如答图1当x=时，pqr和abc重合部分的面积为s就是pqr的面积此时，s=，所以n=.答图1 答图2由图像可知，s的函数表达式有两种情况：当0x时，s=pqrq=，如答图2q点运动到a时，x=2ad=4，所以m=4.当x4时，s=由题意ap=2+，aq=2,因为aqeaq1r1,，所以qe=设fg=pg=m因为agfaq1r1,，所以ag=2+m，所以m=所以s=所以s=故答案为：当0x时，s=，当x4时，s= 答图3 答图43. . （2015山东省德州市，24，12分）已知抛物线y=mx2+4x+2m与x轴交于点a(,0), b(,0),且.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为c，顶点为d，点c关于l的对称点为e. 是否存在x轴上的点m、y轴上的点n，使四边形dnme的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.(3)若点p在抛物线上，点q在x轴上，当以点d、e、p、q为顶点的四边形是平行四边形时，求点p的坐标.【答案】（1）y=x2+4x+2.；（2）四边形dnme的周长的最小值为10+2.（3）（2，4），（2+，4），（2+，4），（2，4）. 4. （2015山东济宁，22，11分） (本题满分11分)如图，e的圆心e(3，0)，半径为5，e与y轴相交于a、b两点(点a在点b的上方)，与x轴的正半轴相交于点c；直线l的解析式为yx4，与x轴相交于点d；以c为顶点的抛物线经过点b.(1)求抛物线的解析式； (2)判断直线l与e的位置关系，并说明理由；(3) 动点p在抛物线上，当点p到直线l的距离最小时，求出点p的坐标及最小距离. 【答案】（1）yx 2x4（2）直线l与e相切于点a（3）当抛物线上的动点p的坐标为 (2，)时，点p到直线l的距离最小，其最小距离为.（2）根据直线的解析式yx4可求d坐标，可验证a在直线上，且在rtaoe和rtdoa中，=，可证得aoedoa，最终证得daoeao90，得到直线l与e相切于点a；（3）过点p作直线l的垂线段pq，垂足为q；过点p作直线pm垂直于x轴，交直线l于点m.然后设出点m(m，m4)，p(m，m 2m4).求得pm的长，pm=(m2)2，当m=2时，pm的最小值为，这时p点的坐标为p(2，).对于pqm，在动点p运动的过程中，pqm的三边的比例关系不变，因此当pm取得最小值时，pq也取得最小值，即=sinqmp=sinaeo，代入相应的知可求得结果. 试题解析：(1)解：连接ae. 由已知得：aece5，oe3， 在rtaoe中，由勾股定理得， oa4. ocab， 由垂径定理得，oboa4.ocoece358. a(0，4)，b(0，4)，c(8，0). 抛物线的顶点为点c，设抛物线的解析式为ya(x8)2.将点b的坐标代入上解析式，得64 a4. 故 a. y(x8)2. yx 2x4 为所求抛物线的解析式. (2) 在直线l的解析式yx4中，令y0，得x40，解得 x，点d的坐标为(，0)；当x0时，y4，所以点a在直线l上.在rtaoe和rtdoa中， ， . aoedoa90， aoedoa. aeodao.aeoeao90， daoeao90. 即 dae90.因此，直线l与e相切于点a. (3)过点p作直线l的垂线段pq，垂足为q；过点p作直线pm垂直于x轴，交直线l于点m. 设m(m，m4)，p(m，m 2m4). 则pmm4(m 2m4)m 2m8(m2)2.当m2时，pm取得最小值.此时，p(2，).对于pqm， pmx轴， qmpdaoaeo. 又pqm90， pqm的三个内角固定不变. 在动点p运动的过程中，pqm的三边的比例关系不变. 当pm取得最小值时，pq也取得最小值.ww%w.zzste*&pq最小pm最小sinqmppm最小sinaeo.所以，当抛物线上的动点p的坐标为 (2，)时，点p到直线l的距离最小，其最小距离为.考点：二次函数与一次函数的综合题5. （2015山东省德州市，23，10分）(1)问题如图1，在四边形abcd中，点p为ab上一点，dpc=a=b=90.求证：adbc=apbp.(2)探究如图2，在四边形abcd中，点p为ab上一点，当dpc=a=b=时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3，在abd中，ab=6，ad=bd=5.点p以每秒1个单位长度的速度，由点a出发，沿边ab向点b运动，且满足dpc=a.设点p的运动时间为t（秒），当以d为圆心，以dc为半径的圆与ab相切，求t的值. 【答案】（1）见解析；（2）t的值为1秒或5秒. 考点：相似三角形的判定及性质；切线的性质及判定；圆的有关性质依次顺延6（2015北京市,第29题，8分）在平面直角坐标系中，的半径为r，p是与圆心c不重合的点，点p关于的反称点的定义如下：若在射线cp上存在一点，满足，则称为点p关于的反称点，下图为点p及其关于的反称点的示意图。ypocx11(1)当的半径为1时。分别判断点，关于的反称点是否存在，若存在？求其坐标；点p在直线上，若点p关于的反称点存在，且点不在x轴上，求点p的横坐标的取值范围；(2)当的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点a，b，若线段ab上存在点p，使得点p关于的反称点在的内部，求圆心c的横坐标的取值范围。【考点】圆的性质、反对称点、一次函数【难度】较难【答案】【点评】本题考查圆的性质以及坐标的求解，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题 7. （2015 山东潍坊第24 题14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx28mx+4m+2（m2）与y轴的交点为a，与x轴的交点分别为b（x1，0），c（x2，0），且x2x1=4，直线adx轴，在x轴上有一动点e（t，0）过点e作平行于y轴的直线l与抛物线、直线ad的交点分别为p、q（1）求抛物线的解析式；（2）当0t8时，求apc面积的最大值；（3）当t2时，是否存在点p，使以a、p、q为顶点的三角形与aob相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出b，c两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；（2）分0t6时和6t8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）分2t6时和t6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解解答：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx28mx+4m+2=0的两根，x1+x2=8，由解得：b（2，0）、c（6，0）则4m16m+4m+2=0，解得：m=，该抛物线解析式为：y=；（2）可求得a（0，3）设直线ac的解析式为：y=kx+b，直线ac的解析式为：y=x+3，要构成apc，显然t6，分两种情况讨论：当0t6时，设直线l与ac交点为f，则：f（t，），p（t，），pf=，sapc=sapf+scpf=，此时最大值为：，当6t8时，设直线l与ac交点为m，则：m（t，），p（t，），pm=，sapc=sapfscpf=，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0t8时，apc面积的最大值为12；（3）如图，连接ab，则aob中，aob=90，ao=3，bo=2，q（t，3），p（t，），当2t6时，aq=t，pq=，若：aobaqp，则：，即：，t=0（舍），或t=，若aobpqa，则：，即：，t=0（舍）或t=2（舍），当t6时，aq=t，pq=，若：aobaqp，则：，即：，t=0（舍），或t=，若aobpqa，则：，即：，t=0（舍）或t=14，t=或t=或t=14点评：本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结8（2015 山东威海，第22题9分）如图，在abc中，ab=ac，以ac为直径的o交ab于点d，交bc于点e（1）求证：be=ce；（2）若bd=2，be=3，求ac的长考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理.专题：证明题分析：（1）连结ae，如图，根据圆周角定理，由ac为o的直径得到aec=90，然后利用等腰三角形的性质即可得到be=ce；（2）连结de，如图，证明bedbac，然后利用相似比可计算出ab的长，从而得到ac的长解答：（1）证明：连结ae，如图，ac为o的直径，aec=90，aebc，而ab=ac，be=ce；（2）连结de，如图，be=ce=3，bc=6，bed=bac，而dbe=cba，bedbac，=，即=，ba=9，ac=ba=9点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理9（2015 山东威海，第23题10分）（1）如图1，已知acb=dce=90，ac=bc=6，cd=ce，ae=3，cae=45，求a