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加试模拟训练题（23）1、已知分别是的边上的点，相交于点，证明和的内切圆外切的充分必要条件是四边形有内切圆。（99年保加利亚）2、求证：3、 将99边形的边染色，使得相邻边的颜色依顺时针方向为红，蓝，红，蓝，红，蓝，黄然后进行一系列的变换，每一次变换将一条边的颜色改变，变为红，蓝，黄中的一种并且相邻的边颜色不同试问能否经过一系列的变换使得相邻边的颜色依次是红，蓝，红，蓝，红，黄，蓝？4、求所有的质数，满足 .加试模拟训练题（23）1、已知分别是的边上的点，相交于点，证明和的内切圆外切的充分必要条件是四边形有内切圆。（99年保加利亚）证明 充分性：由和的内切圆外切，可得。作的内切圆，过作该圆的切线，交于。由于，因此有，即。必要性：设和的内切圆与分别切于点，因为，所以有。2、求证：3、 将99边形的边染色，使得相邻边的颜色依顺时针方向为红，蓝，红，蓝，红，蓝，黄然后进行一系列的变换，每一次变换将一条边的颜色改变，变为红，蓝，黄中的一种并且相邻的边颜色不同试问能否经过一系列的变换使得相邻边的颜色依次是红，蓝，红，蓝，红，黄，蓝？【题说】第二十三届(1994年)美国数学奥林匹克题2【解】对每一种染色法，给这个多边形的每个顶点打分：如果按照顺时针方向过这点的两条相邻的边染色为(红，蓝)，(蓝，黄)或(黄，红)，这点就打1分，否则打1分各顶点分数之和称为多边形的总分不难算出(红，蓝，红，蓝，红，蓝，黄)的总分是3；(红，蓝，红，蓝，红，黄，蓝)的总分是3在每一次变换中，改变颜色的边的两条邻边一定是颜色相同的，因此，这条边的一个顶点分由1变为1，另一个顶点分由1变为1所以每一次变换保持总分不变因而不可能由(红，蓝，红，蓝，红，蓝，黄)经过一系列变换，变为(红，蓝，红，蓝，红，黄，蓝) 4、求所有的质数，满足 .分析：等式两边形式差别很大，但两边取模可以去掉某些项，从而达到化简的目的.解：等式两边取模，得，由fermat小定理知.所以，即.等式两边取模得，又由fermat小定理知，则有.如果19，因为有，即，而，所以必有，显然无质数解.所
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