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加试模拟训练题（30）1、 设abcdef是凸六边形，满足abbccd，deeffa，bcdefa60设g和h是这六边形内部的两点，使得agbdhe120试证：aggbghdhhecf2. 设求证3、 设有两个完全相同的齿轮a、b，b被平放在一个水平面上，a放在b上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮a绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断4求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.加试模拟训练题（30）1、 设abcdef是凸六边形，满足abbccd，deeffa，bcdefa60设g和h是这六边形内部的两点，使得agbdhe120试证：aggbghdhhecf【题说】 第三十六届(1995年)国际数学奥林匹克题 5【证】 连bd，ae由于bccd，bcd60，所以bdbcab同样aeed连 be，则 a、d关于 be对称设 g、h关于 be的对称点分别为g、h则bgd与bga关于be对称，所以bgdbga120，g在正三角形bcd的外接圆上熟知cgdggbaggb同理hfahhedhhe因此aggbghdhhecgghhfcf 2. 设求证证明 设数列的通项公式为 .则 由得.故 .所以数列为单调递增数列,又 .所以 即 .3、 设有两个完全相同的齿轮a、b，b被平放在一个水平面上，a放在b上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮a绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题5【解】将每个断齿赋值“0”，好齿赋值“1”对a齿轮的每个位置，作两轮对应位置齿值的乘积之和，初始位置除外的13个位置总和为10990137，故必有一个位置的和6此时必定任二断齿不相重合当齿数为13时，将a、b重合时各对齿依顺时针记为0，1，12锯掉0，1，5，11四对齿0，1，5，11两两之差恰取遍1，2，12(mod 13)故对a的任一位置总有两个断齿重合，始终得不到完整的投影4求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届imo预选题）【解】根据题目要求，n是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，10整数.由于8=23，9=32，10=25，故其标准分解式中，至少含有233257的因式，因此，若设 则由而
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