高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 比较法课件 新人教B版选修45.ppt

1 5不等式证明的基本方法 1 5 1比较法 1 理解和掌握比较法证明不等式的依据 2 掌握利用比较法证明不等式的一般步骤 3 通过学习比较法证明不等式 培养学生对转化思想的理解和应用 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 做一做1 设m a 2b n a b2 1 则 a m nb m nc m nd m n解析 n m b2 1 2b b 1 2 0 n m 答案 d 做一做2 下列命题中 是真命题的有 a b c d 答案 a 1 用作差比较法证明不等式的一般步骤是什么 剖析 用作差比较法证明不等式的一般步骤是 1 作差 把不等式的左 右两边作差 可以是左边减右边 也可以是右边减左边 2 变形 把这个差变化为易于判断正负的形式 而不必考虑差的值是多少 变形的方法主要有配方法 通分法 因式分解法等 3 判断差的符号 主要依据差的最后变形的结果来判断 4 下结论 肯定所证明的不等式成立 2 作商比较法中的符号问题如何解决 断 否则 结论将是错误的 对于此类问题 分为含参数变量类的和大小固定的两种 因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测 进而给出一定的理性推理或证明过程 题型一 题型二 题型三 题型四 用作差比较法证明不等式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 1 作差比较法中 变形具有承上启下的作用 变形的目的在于判断差的符号 而不用考虑差能否化简或值是多少 2 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形的方法 3 因式分解是常用的变形手段 为了便于判断 差式 的符号 常将 差式 变形为一个常数 或几个因式积的形式 当所得的 差式 是某字母的二次三项式时 常用判别式法判断符号 有时会遇到结果符号不能确定 这时候要对差式进行分类讨论 题型一 题型二 题型四 题型三 用作商比较法证明不等式 例2 已知a b c 0 求证 a2ab2bc2c ab cbc aca b 分析 证明这类含幂指数乘积形式的不等式 往往通过作商与1比较大小来证明 证明 由a b c 0 得ac bbc aca b 0 所证不等式左边除以右边 得 题型一 题型二 题型四 题型三 反思证明此题易出现在不讨论ab c bc a ca b 0的前提下 就开始作商 或在未得到a b 0 就得出商大于1 这些都是解题不严谨的表现 解题时要注意这一点 一般地 要比较的两个解析式均为正值时 可利用作商的方法比较其大小 如果两个解析式均为负值时 可用同样的方法比较其绝对值的大小 题型一 题型二 题型三 题型四 比较法的实际应用 例3 已知买8千克胡萝卜和10千克白菜的钱小于22元 而买12千克胡萝卜和6千克白菜的钱大于24元 问买2千克胡萝卜与3千克白菜的钱哪个更多些 分析 设每千克胡萝卜和每千克白菜的钱分别为a元和b元 根据条件列出a b间的关系式 比较2a与3b的大小即可 题型一 题型二 题型三 题型四 反思应用不等式解决实际问题时 关键是如何把等量关系 不等量关系转化为不等式的问题来解决 在实际应用不等关系问题时 常用比较法来判断数的大小关系 若是选择题或填空题 则可用特殊值加以判断 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 作差后对差式变形不恰当 使判断符号的过程含糊不清 例4 判断函数f x x3在r上的单调性 错解 设x1 x2是r上的任意两个数 且x1f x1 f x x3在r上为增函数 题型一 题型二 题型三 题型四 12345 1下列关系式中对任意a b 0的实数都成立的是 答案 b 12345 2已知a 0 且a 1 p loga a3 1 q loga a2 1 则p q的大小关系是 a p qb p qc p qd 大小不确定 答案 a 12345 a p qb p qc p qd p q 答案 d 12345 12345 5 x