高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第2课时 简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5.ppt

3 3 2简单的线性规划问题 线性规划中的基本概念 练一练若变量x y满足约束条件则z 2x y的最大值和最小值分别为 a 4和3b 4和2c 3和2d 2和0 解析 画出可行域如图阴影部分所示 画出直线2x y 0 并在可行域内移动 当直线经过点 1 0 时 z取最小值 当直线经过点 2 0 时 z取最大值 故zmax 2 2 0 4 zmin 2 1 0 2 答案 b 名师点拨线性目标函数z ax by c a b不全为0 中 当b 0时 这样线性目标函数可看成斜率为 在y轴上的截距为且随z变化的一组平行线 则把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时 直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题 因此 只需先作出直线y x 再平行移动这条直线 最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解 应特别注意 当b 0时 z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大 当b 0时 z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小 通常情况下 可以利用可行域边界直线的斜率来判断 最优解一般在可行域的顶点处取得 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一求线性目标函数的最值求线性目标函数最值问题的步骤 1 作图 画出约束条件 不等式组 所表示的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l 2 平移 将直线l平行移动 以确定最优解所对应的点的位置 3 求值 解有关的方程组求出最优解 再代入目标函数 求出目标函数的最值 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1已知关于x y的二元一次不等式组 1 求函数u 3x y的最大值和最小值 2 求函数z x 2y的最大值和最小值 思路分析 先作出线性约束条件下的可行域以及目标直线 根据目标直线确定最优解 并求出最值 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 作出二元一次不等式组表示的平面区域 如图 由u 3x y 得y 3x u 得到斜率为3 在y轴上的截距为 u 随u变化的一组平行线 由图可知 当直线经过可行域上的点c时 截距 u最大 即u最小 解方程组得c 2 3 umin 3 2 3 9 当直线经过可行域上的点b时 截距 u最小 即u最大 解方程组得b 2 1 umax 3 2 1 5 u 3x y的最大值是5 最小值是 9 探究一 探究二 探究三 探究四 2 作出二元一次不等式组表示的平面区域 如图 由z x 2y 得 得到斜率为 在y轴上的截距为z 随z变化的一组平行线 由图可知 当直线经过可行域上的点a时 截距z最小 即z最小 解方程组得a 2 3 zmin 2 2 3 8 当直线与直线x 2y 4重合时 截距z最大 即z最大 zmax x 2y 4 z x 2y的最大值是4 最小值是 8 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结在求目标函数z ax by c的最值时 先作出直线l ax by 0 再平移直线l 当b 0时 直线l经过可行域内的点 并且在y轴上截距最大时 z取最大值 在y轴上截距最小时 z取最小值 当b 0时 正好相反 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练1 设x y满足约束条件则z 2x 3y的最小值是 a 7b 6c 5d 3解析 由约束条件得可行域 如图 当直线2x 3y z 0过点a 3 4 时 zmin 2 3 3 4 6 故选b 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二非线性目标函数的最值问题非线性目标函数的最值问题 要充分理解非线性目标函数的几何意义 诸如两点间的距离 或平方 点到直线的距离 过已知两点的直线斜率等 常见代数式的几何意义主要有 1 表示点 x y 与点 a b 的距离 表示点 x y 与原点 0 0 的距离 2 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化 往往是解决问题的关键 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题2 1 z x2 y2 10y 25的最小值 思路分析 首先求出可行域 解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义 再利用解析几何知识求解 1 z x2 y2 10y 25表示距离的平方问题 2 表示可行域内的动点与连线的斜率问题 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 z x2 y 5 2表示可行域内任一点 x y 到定点m 0 5 的距离的平方 过点m作直线ac的垂线 易知垂足n在线段ac上 故z的最小值是 mn 2 2 表示可行域内任一点 x y 与定点q连线的斜率的两倍 a 1 3 b 3 1 故z的范围为 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 解 画出满足条件的可行域如图 1 x2 y2 u表示一组同心圆 圆心为原点o 且对同一圆上的点 x2 y2的值都相等 由图可知 当 x y 在可行域内取值时 当且仅当圆o过点c时 u最大 过点 0 0 时 u最小 点c坐标为 3 8 所以umax 73 umin 0 2 表示可行域内的点p x y 到定点d 5 0 的斜率 由图可知 kbd最大 kcd最小 因为c 3 8 b 3 3 所以 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三已知目标函数的最值求参数已知目标函数的最值求参数 这是线性规划的逆向思维问题 解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得 运用数形结合的思想方法求解 同时 要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题3设m 1 在约束条件下 目标函数z x my的最大值小于2 则m的取值范围为 a 1 1 b 1 c 1 3 d 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练3 设z kx y 其中实数x y满足若z的最大值为12 则实数k 解析 画出可行域如图 其中a 2 3 b 2 0 c 4 4 当k 0时 显然不符合题意 当k 0时 最大值在点c处取得 此时12 4k 4 解得k 2 当k0 舍去 或k 2 0 舍去 故k 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四线性规划中的实际应用解答线性规划应用题的一般步骤 1 审题 仔细阅读 准确理解题意 明确有哪些限制条件 起关键作用的变量有哪些 由于线性规划应用题中的量较多 为了理顺题目中量与量之间的关系 有时可借助表格来处理 2 转化 设出未知量 由条件写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题 3 求解 解这个数学问题 其求解过程是 作图 平移 求最优解及最值 4 作答 就应用题提出的问题作出回答 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题4某工厂有甲 乙两种产品 计划每天各产品生产量不少于15t 已知生产甲产品1t需煤9t 电力4kw h 劳力3个 生产乙产品1t需煤5t 电力5kw h 劳力10个 甲产品每1t利润7万元 乙产品每1t利润12万元 但每天用煤不超过300t 电力不超过200kw h 劳力只有300个 问每天各生产甲 乙两种产品多少时 能使利润总额达到最大 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析 将已知数据列成表 如下表所示 设出未知量 根据资源限额建立约束条件 由利润关系建立目标函数 探究一 探究二 探究三 探究四 解 设每天生产甲 乙两种产品分别为xt yt 利润总额为z万元 那么作出以上不等式组的可行域 如图中的阴影部分所示 探究一 探究二 探究三 探究四 12345 1 已知点p x y 在不等式组表示的平面区域内运动 则z x y的取值范围是 a 2 1 b 2 1 c 1 2 d 1 2 解析 画出满足约束条件的可行域 如图 阴影部分 z x y y x z 由图知截距 z的取值范围为 2 1 z的取值范围为 1 2 答案 c 12345 2 若实数x y满足的取值范围是 a 0 1 b 0 1 c 1 d 1 解析 实数x y满足的相关区域如图中的阴影部分所示 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点 0 0 连线的斜率 由图可知 取值范围为 1 答案 c 3 设变量x y满足约束条件 则z x 3y的最小值为 解析 作出可行域如图阴影部分所示 可知当x 3y z经过点a 2 2 时 z有最小值 此时z的最小值为 2 3 2 8 答案 8 12345 12345 4 给出平面区域如图阴影部分所示 若使目标函数z ax y a 0 取得最大值的最优解有无穷多个 则a的值为 解析 将z ax y变形 得y ax z 当它与直线ac重合时 使z取得最大值的点有无穷多个 答案 12345 5 某公司有60万元资金 计划投资甲 乙两个项目 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍 且对每个项目的投资不能低