高中数学 第二章 平面向量复习课课件 新人教A版必修4.ppt

平面向量 网络体系 核心速填 1 五种常见的向量 1 单位向量 模为 的向量 2 零向量 模为 的向量 3 平行 共线 向量 方向 的向量 4 相等向量 模相等 方向 的向量 5 相反向量 模相等 方向 的向量 1 0 相同或相反 相同 相反 2 两个重要定理 1 向量共线定理 向量 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 2 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使 其中e1 e2是一组基底 a a 0 b a 不共线向量 a 1e1 2e2 3 两个非零向量平行 垂直的充要条件若a x1 y1 b x2 y2 则 1 a b a b 0 2 a b a b 0 x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 5 向量的投影 1 向量a在b方向的投影为 2 向量b在a方向的投影为 6 向量的运算律 1 交换律 a b b a a b b a 2 结合律 a b c a b c a b c a b c a b a b a b 3 分配律 a a b a b c a c b c 4 重要公式 a b a b a b 2 a a a b a2 b2 a2 2a b b2 易错提醒 1 有关向量的注意点 1 零向量的方向是任意的 2 平行向量无传递性 即a b b c时 a与c不一定是平行向量 3 注意数量积是一个实数 不再是一个向量 2 向量的运算律中注意点 1 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别 对于一个向量等式 可以移项 两边平方 两边同乘以一个实数 两边同时取模 两边同乘以一个向量 但不能两边同除以一个向量 即两边不能约去一个向量 切记两向量不能相除 相约 2 向量的 乘法 不满足结合律 即 a b c a b c 类型一平面向量的线性运算及应用 典例1 1 化简 2 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 求3a b 3c 求满足a mb nc的实数m n 解析 1 选d 2 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 因为mb nc 6m n 3m 8n a mb nc 所以解得 方法技巧 向量线性运算的基本原则和求解策略 1 基本原则 向量的加法 减法和数乘运算统称为向量的线性运算 向量的线性运算的结果仍是一个向量 因此 对它们的运算法则 运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面 2 求解策略 向量是一个有 形 的几何量 因此在进行向量线性运算时 一定要结合图形 这是研究平面向量的重要方法与技巧 字符表示下线性运算的常用技巧首尾相接用加法的三角形法则 如共起点两个向量作差用减法的几何意义 如 平行向量 共线向量 相等与相反向量 单位向量等 理解向量的有关概念并进行恰当地应用 注意常见结论的应用 如 abc中 点d是bc的中点 则 变式训练 2015 秦皇岛高一检测 已知向量a 6 4 b 0 2 a b o为坐标原点 若点c在函数的图象上 则实数 的值为 解析 由题意得 6 4 0 2 6 4 2 故点c的坐标为 6 4 2 根据条件得4 2 sin 1 解得 答案 补偿训练 2015 广元高一检测 如图 已知用 表示 则等于 解析 选c 类型二平面向量数量积的运算 典例2 1 abc的外接圆半径为1 圆心为o 且则的值为 2 2015 湖北高考 已知向量则 3 2015 北京高一检测 如图 正六边形abcdef的边长为1 m n分别是bc de上的动点 且满足 若m n分别是bc de的中点 求的值 求的取值范围 3 如图 以ab所在直线为x轴 以a为坐标原点建立平面直角坐标系 因为多边形abcdef是边长为1的正六边形 且m n分别是bc de的中点 所以所以 延伸探究 在典例 1 中 若则 bac的大小是多少 解析 由已知可得由向量加法的平行四边形法则可知 四边形oacb是四条边均为1的平行四边形 故 oac为等边三角形 oac 2 bac 60 所以 bac 30 方法技巧 向量数量积的求解策略 1 利用数量积的定义 运算律求解 在数量积运算律中 有两个形似实数的完全平方和 差 公式在解题中的应用较为广泛 即 a b 2 a2 2a b b2 a b 2 a2 2a b b2 上述两公式以及 a b a b a2 b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用 2 借助零向量 即借助 围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量 再合理使用向量的移项以及平方等变形 求解数量积 3 借助平行向量与垂直向量 即借助向量的拆分 将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积 借助a b 则a b 0等解决问题 4 建立坐标系 利用坐标运算求解数量积 变式训练 如图所示 p为 aob所在平面内一点 向量且p在线段ab的垂直平分线上 向量若 a 3 b 2 则c a b 的值为 a 5b 3c d 解析 选c 设ab中点为d 补偿训练 如图所示 在rt abc中 已知bc a 若长为2a的线段pq以点a为中点 问 的夹角 取何值时 的值最大 并求出这个最大值 解题指南 解答本题的关键是要结合图形 利用向量的三角形法则找出向量之间的关系 或建立适当的坐标系 利用向量的坐标形式来解答 解析 以直角顶点a为坐标原点 两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 设b b 0 c 0 c 所以b2 c2 a2 设p点坐标为 x y 则q点坐标为 x y 且x2 y2 a2 则 x b y x y c 又而所以所以当cos 1时 有最大值0 即当 0 即的方向相同 时 最大 最大值为0 类型三平面向量的平行与垂直问题 典例3 1 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c 则 a b c 1d 2 2 在平面直角坐标系xoy中 已知若 abo 90 则实数t的值为 3 已知平面内a b c三点共线 o为原点 且求实数m n的值 解析 1 选b 因为向量a 1 2 b 1 0 可得a b 1 2 由 a b c得 1 4 3 2 0 所以 2 因为 abo 90 易知所以即3 2 2 2 t 0 所以t 5 答案 5 3 因为a b c三点共线 所以 延伸探究 在典例 1 的条件下 是否存在非零常数 使a b与a c平行 若平行 是同向还是反向 解析 因为a b 1 2 a c 1 3 2 4 若a b与a c平行 则 1 2 4 2 1 3 0 解得 1 所以a b 2 2 a c 2 2 a b与a c反向 即存在 1使a b与a c平行且反向 方法技巧 1 证明共线问题常用的方法 1 向量a b a 0 共线 存在唯一实数 使b a 2 向量a x1 y1 b x2 y2 共线 x1y2 x2y1 0 3 向量a与b共线 a b a b 4 向量a与b共线 存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0 2 证明平面向量垂直问题的常用方法a b a b 0 x1x2 y1y2 0 其中a x1 y1 b x2 y2 变式训练 1 已知向量a 1 1 b 1 2 向量c满足 c b a c a b 则c等于 a 2 1 b 1 0 c d 0 1 解析 选a 设c x y 由 c b a c a b可得解得因此c 2 1 2 已知向量a 2 3 b 1 2 若 ma nb a 2b 则等于 解析 ma nb 2m 3m n 2n 2m n 3m 2n a 2b 2 3 2 4 4 1 由 ma nb a 2b 2m n 4 3m 2n 整理得14m 7n 则 答案 补偿训练 已知向量a b不共线 c ka b d a b 1 若c d 求k的值 并判断c d是否同向 2 若 a b a与b的夹角为60 当k为何值时 c d 解析 1 c d 故c d 即ka b a b 又a b不共线 所以得即c d 故c与d反向 2 c d ka b a b ka2 ka b a b b2 k 1 a2 1 k a 2 cos60 又c d 故 k 1 a2 a2 0 即 k 1 0 解得k 1 类型四平面向量的模与夹角 典例4 1 向量a b满足 a b 2a b 4 且 a 2 b 4 则a b的夹角等于 2 已知 a 4 b 8 a与b的夹角是120 计算 a b 4a 2b 当k为何值时 a 2b ka b 解析 1 设a与b的夹角为 因为 a 2 b 4 由 a b 2a b 4得 2 a 2 a b b 2 4 即a b 4 所以cos 所以 120 答案 120 2 由已知 因为 a b 2 a2 2a b b2 16 2 16 64 48 所以 a b 4 因为 4a 2b 2 16a2 16a b 4b2 16 16 16 16 4 64 3 162 所以 4a 2b 16 若 a 2b ka b 则 a 2b ka b 0 所以ka2 2k 1 a b 2b2 0 即16k 16 2k 1 2 64 0 所以k 7 方法技巧 1 解决向量模的问题常用的策略 1 应用公式 a 其中a x y 2 应用三角形或平行四边形法则 3 应用向量不等式 a b a b a b 4 研究模的平方 a b 2 a b 2 2 求向量的夹角设非零向量a x1 y1 b x2 y2 两向量夹角 0 的余弦 变式训练 平面向量a与b的夹角为60 a 2 0 b 1 则 a 2b 等于 a 2b 2c 4d 解析 选b 由已知得 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 所以 a 2b 2 补偿训练 2015 安阳高一检测 已知非零向量a b满足 a 1 且 a b a b 1 求 b 2 当a b 时 求向量a与b的夹角 的值 解析 1 因为 a b a b 所以a2 b2 所以 b 2 a 2 1 故 b 2 因为又0 180 所以 45 类型五平面向量在解析几何和物理方面的应用 典例5 1 已知o是平面上的一定点 a b c是平面上不共线的三个动点 若动点p满足则点p的轨迹一定通过 abc的 a 外心b 内心c 垂心d 重心 2 已知向量a表示 向东航行1km 向量b表示 向北航行km 则向量a b表示 a 向东北方向航行2kmb 向北偏东30 方向航行2kmc 向北偏东60 方向航行2kmd 向东北方向航行 1 km 解析 1 选d 由原等式得根据平行四边形法则 知是 abc的中线所对应向量的2倍 所以点p的轨迹必过 abc的重心 2 选b a与b的夹角为90 则a b 0 则a a b a 2 a b 1 设a与a b的夹角为 则所以 60 即a b表示向北偏东30 方向航行2km 方法技巧