高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第42讲 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理.ppt

立体几何 第七章 第42讲直线 平面垂直的判定及其性质 栏目导航 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面 内的 直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意一条 2 判定定理与性质定理 两条相交直线 a b a b o l a l b 平行 a b 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 判定定理和性质定理 垂线 l l 交线 l a l a 1 思维辨析 在括号内打 或 1 直线l与平面 内无数条直线都垂直 则l 2 过一点作已知直线的垂面有且只有一个 3 若两条直线垂直 则这两条直线相交 4 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面 5 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 解析 1 错误 直线l与 内两条相交直线都垂直才有l 2 正确 过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线 而这两条相交直线可确定一个平面 此平面与直线垂直 3 错误 两条直线垂直 这两条直线可能相交 也可能异面 4 错误 两个平面垂直 有一条交线 一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 而不是任意一条直线 5 错误 内的一条直线如果与 内的两条相交直线都垂直才能线面垂直 从而面面垂直 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析 由面面垂直的性质定理可知 当 时 b 又因为a 则a b 如果a m a b 不能得到 故 是 a b 的充分不必要条件 故选a a 3 2017 上海六校联考 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 下面给出的条件中一定能推出m 的是 a 且m b 且m c m n且n d m n n 且 解析 且m m 或m 或m与 相交 故a不成立 且m m 或m 或m与 相交 故b不成立 m n 且n m 故c成立 m n n 且 知m 不成立 故d不成立 故选c c 4 pd垂直于正方形abcd所在的平面 连接pb pc pa ac bd 则一定互相垂直的平面有 对 解析 平面pad 平面pbd 平面pcd都垂直于平面abcd 平面pad 平面pcd 平面pcd 平面pbc 平面pad 平面pab 平面pac 平面pbd 共有7对 7 5 在三棱锥p abc中 点p在平面abc中的射影为点o 1 若pa pb pc 则点o是 abc的 心 2 若pa pb pb pc pc pa 则点o是 abc的 心 解析 1 若pa pb pc 由勾股定理易得oa ob oc 故o是 abc的外心 2 由pa pb pc pa 得pa 平面pbc 则pa bc 又由po 平面abc知po bc 所以bc 平面pao 则ao bc 同理得bo ac co ab 故o是 abc的垂心 外 垂 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质常用来证明线线垂直 一直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图 在正方体abcda1b1c1d1中 e为棱c1d1的中点 f为棱bc的中点 1 求证 直线ae 直线da1 2 在线段aa1上求一点g 使得直线ae 平面dfg 解析 1 证明 由正方体的性质可知 da1 ad1 da1 ab 又ab ad1 a da1 平面abc1d1 又ae 平面abc1d1 da1 ae 2 所求g点即为a1点 证明如下 由 1 可知ae da1 取cd的中点h 连接ah eh 由df ah df eh ah eh h 可证df 平面ahe ae 平面ahe df ae 又df a1d d ae 平面dfa1 即ae 平面dfg 二平面与平面垂直的判定与性质 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 例2 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 且底面各边都相等 m是pc上的一动点 当点m满足 时 平面mbd 平面pcd 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析 四边形abcd的边长相等 四边形为菱形 ac bd 又 pa 面abcd pa bd 又 ac pa a bd 面pac bd pc 当bm pc时 又 bm bd b pc 面bdm 又 pc 平面pcd 面pcd 面bdm bm pc 答案不唯一 例3 已知三棱柱a1b1c1 abc的侧棱与底面成60 角 底面是等边三角形 侧面b1c1cb是菱形且与底面垂直 求证 ac1 bc 三垂直关系中的探索性问题 解决垂直关系中的探索性问题的方法同 平行关系中的探索性问题 的规律方法一样 一般是先探求点的位置 多为线段的中点或某个三等分点 然后给出符合要求的证明 例4 如图 在三棱台abc def中 cf 平面def ab bc 1 设平面ace 平面def a 求证 df a 2 若ef cf 2bc 试问在线段be上是否存在点g 使得平面dfg 平面cde 若存在 请确定g点的位置 若不存在 请说明理由 解析 1 证明 在三棱台abc def中 ac df ac 平面ace df 平面ace df 平面ace 又 df 平面def 平面ace 平面def a df a 1 如图 pa垂直于圆o所在的平面 ab是圆o的直径 c是圆o上的一点 e f分别是点a在pb pc上的射影 给出下列结论 af pb ef pb af bc ae bc 正确命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 c 解析 ab是圆o的直径 ac bc 又pa 面abc 故pa bc 且pa ac a bc 面pac bc af 又af pc 且pc bc c af 面pbc 故af pb 又ae pb 且af ae a 所以pb 面aef 从而ef pb 故 正确 若ae bc 则可证ae 面pbc 则ae af 这是不可能的 选c 2 如图 以等腰直角三角形abc的斜边bc上的高ad为折痕 把 abd和 acd折成互相垂直的两个平面后 某学生得出下列四个结论 bd ac bac是等边三角形 三棱锥d abc是正三棱锥 平面adc 平面abc 其中正确的是 a b c d 解析 由题意知 bd 平面adc 故bd ac 正确 ad为等腰直角三角形斜边bc上的高 平面abd 平面acd 所以ab ac bc bac是等边三角形 正确 易知da db dc 又由 知 正确 由 知 错 故选b b 3 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 2 pd 平面abe 4 如图 在四棱锥s abcd中 平面sad 平面abcd 四边形abcd为正方形 且p为ad的中点 q为sb的中点 1 求证 cd 平面sad 2 求证 pq 平面scd 3 若sa sd m为bc的中点 在棱sc上是