八年级数学下册 22.2.3 特殊的平行四边形教案1 沪教版五四制.doc

特殊的平行四边形教学目标1.掌握矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理。2.理解正方形与菱形和矩形的关系，能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。难点内容：根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。特殊的平行四边形知识精要一、特殊的平行四边形 矩形：有一个内角是直角的平行四边形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形。正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。二、性质定理图形性质定理判定定理矩形四个角都是直角；两条对角线相等。有三个内角是直角的四边形。对角线相等的平行四边形。菱形四条边都相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。四条边都相等的四边形。对角线互相垂直的平行四边形。正方形四个角都是直角，四条边都相等；对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。一组邻边相等的矩形；有一个内角是直角的菱形。热身练习1、已知菱形abcd的周长为20cm，a：abc1：2，则bd= 6 cm.2、已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为 5 cm.3、正方形的对称轴有4条。4、正方形的对角线与一边的夹角为 45。5、如图在中，点d、e、f分别在边、上，且，下列四种说法： 四边形是平行四边形； 如果，那么四边形是矩形；如果平分，那么四边形是菱形；如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有 .（只填写序号）答案：6、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 .7、菱形abcd，若a:b2：1，cad的平分线ae和边cd之间的关系是（ d ）a相等 b互相垂直且不平分 c互相平分且不垂直 d垂直且平分8、已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( c )a6cm，8cmb3cm，4cmc12cm，16cmd24cm，32cm9、如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（ d ）a5cmb8cmc9cmd10cm10、已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( b )a.45，135 b.60，120 c.90，90 d.30，15011、正方形具有而菱形没有的性质是（ c ）a对角线互相平分 b每条对角线平分一组对角 c对角线相等 d对边相等12、如图，四边形为矩形纸片把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为若，则等于（a）b cd13、已知：如图，在菱形abcd中，点e，f分别在cd，bc上，且ce=cf，求证：ae=af证明：只要证14、已知：如图，在正方形abcd中，点e、f分别在bc和cd上，ae = af（1）求证：be = df；da（2）连接ac交ef于点o，延长oc至点m，使om = oa，连接em、fm判断四边形aemf是什么特殊四边形？并证明你的结论focebm答案：证明：（1）四边形abcd是正方形， abad,b = d = 90ae = af， bedf（2）四边形aemf是菱形 四边形abcd是正方形，bca = dca = 45，bc = dc bedf，bcbe = dcdf. 即 om = oa， 四边形aemf是平行四边形ae = af，平行四边形aemf是菱形15、已知，如图rtabc中，acb90，cd为acb的平分线，debc于点e，dfac于点f，求证：四边形cedf是正方形。 证明：因为acb90，debc，dfac所以四边形cedf是矩形 因为cd为acb的平分线 所以三角形cde是等腰三角形，所以ce=de 所以四边形cedf是正方形 （一组邻边相等的矩形是正方形）精解名题例1、如图，已知锐角abc中，以ab，ac为边向外作正方形abde和正方形acfg，连结ce、bg，交点为o，求证：(1) ecbg；(2) ecbg解析 易证eacbag，可得ecbg，aecabg，于是可证eobeab证明： (1)在正方形abde和正方形acfg中，aeab，acag，eabgac90，eabbacgacbac即eacbag，eacbag ecbg(2)由(1)知：eacbag， aecabg又12， abg2aec190eobeab90 ecbg（若把bac为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之）a bdcfp e例2、如图，已知p点是正方形abcd对角线bd上一点，pedc，pfbc，e，f分别是垂足，求证：apef证明：连结ac交bd于o，连结pc在正方形abcd中，bdac，bd平分acpapc 又pecd，pfbc，dcb90 四边形pfce是矩形 efpc paef例3、将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1图1图2图3图4(1)四边形abcd是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，两对边平行的四边形为平行四边形(2)如图2，将rtbcd沿射线bd方向平移到rtb1c1d1的位置，四边形abc1d1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，由，且，得到（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）(3)在rtbcd沿射线bd方向平移的过程中，当点b的移动距离为_时，四边形abc1d1为矩形，其理由是：平行四边形有一内角为；当点b的移动距离为_1_时，四边形abc1d1为菱形，其理由是：平行四边形内有一组相邻的边相等(图3、图4用于探究)例4、探究问题：方法感悟： 如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的点，且满足eaf=45，连接ef，求证de+bf=ef感悟解题方法，并完成下列填空：将ade绕点a顺时针旋转90得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad,bg=de, 1=2，abg=d=90,abg+abf=90+90=180，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf=45 2+3=bad-eaf=90-45=451=2， 1+3=45 即gaf=_eaf_又ag=ae，af=af gaf_gf_=ef，故de+bf=ef 方法迁移： 如图，将沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf=dab试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，并证明你的猜想证：延长直线fb,使得bg=de,将rtabc沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点.ab=ad，abg=ade，bg=deagbaed，ag=ae，af=af，bag= dae又eaf= 12dabgaf=fae，agfaef，gf=ef，de+bf=ef；问题拓展：如图，在四边形abcd中，ab=ad，e，f分别为dc,bc上的点，满足,试猜想当b与d满足什么关系时，可使得de+bf=ef请直接写出你的猜想（不必说明理由）当b+d=180 0巩固练习一、填空题1. 如图，矩形的周长为24cm，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边分别为4 cm和8 cm。2、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为51,那么菱形对边间的距离是1.5 cm 。3、菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为_4、如图，矩形abcd中，ab3，bc4，p是边ad上的动点，peac于点e，pfbd于点f，则pepf的值为：_。5、正方形abcd中，对角线bd长为16cm，p是ab上任意一点，则点p到ac、bd的距离之和等于8cm6、如图，将矩形纸abcd的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形efgh，若eh3厘米，ef4厘米，则边ad的长是_5_厘米.7、如图，菱形abcd的对角线ac、bd相交于点o，且ac=8，bd=6，过点o作oh丄ab，垂足为h，则点0到边ab的距离oh= 选择题1、已知菱形abcd的周长为40cm，bd=ac，则菱形的面积为（ a ）a96cm2b94cm2 c92cm2 d90cm22、如下图，四边形abcd为正方形，bpc为等边三角形，连接pd、bd，则bdp=（ c ） a15 b25 c30 d35 (2题图) （3题图） （4题图）3、 如上图，四边形abcd为矩形纸片把纸片abcd折叠，使点b恰好落在cd边的中点e处，折痕为af， 若cd6，则af等于 （a ）a b c d84、如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（ b ）abcd5、如图，矩形abcd中，ab20，ad30，e、f三等分ac，则abe的面积是(b )a60b100c150d200 （5题图） （6题图） （7题图）6、如右图，在菱形abcd中，aebc于点e，afcd于点f，且e、f分别为bc、cd的中点，则eaf等于（ b ） a.75b.60c.45d.307、如图，正方形abcd的边长为8，在各边上顺次截取aebfcgdh5，则四边形efgh的面积是(b )a30b34c36d40三、解答题1、已知如图，菱形abcd中，e是ab的中点，且deab，ae=2，求：（1）abc的度数； （2）对角线ac、bd的长； （3）菱形abcd的面积。解：（1）120度；（2）ac= ，bd= 4 （3）2、如图，在abcd中，两对角线ac、bd交于点o，ef过点o且垂直于ac并交ab于点e，交cd于点f，求证：四边形aecf是菱形。提示：证cofaoe 3、如图，已知e为正方形abcd的边bc的中点，efae，cf平分dcg，求证：aeef解析：可取ab中点m，连结me，证ameecf证明：取ab中点m，连结mef在正方形abcd中，abbc，bdcb90又e为bc中点，geambmbeecbme45ame135又cf平分dcgecf135ameecf又aeef，fecaeb90又baeaeb90fecbaeameecfaeef4、如图，在abc 中，点o是ac边上的一个动点，过点o作直线mnbc，设mn交bca的角平分线于点e，交bca的外角平分线于点f当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？ 并证明你的结论答案：当点o运动到ac的中点时，四边形aecf是矩形ce平分，oce=ecb又mnbc，oec=ecboce=oec同理， ，ao=co，四边形aecf是平行四边形. 又ce、cf分别平分acb和acp， 四边形aecf是矩形自我测试一、填空题1、如图，矩形abcd的对角线相交于o点，aebd，垂足为e，若dae4bae，则eac542、已知菱形一个内角为，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为 32cm .已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 40 cm .4、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm，则另一条对角线的长是 2cm a b c难关d过e第6题图5、如图，正方形的对角线相交于o，bac的的平分线交bd于e，若正方形的周长是20cm，则de5cm （5题图）6、如图,e是正方形abcd内一点,如果abe为等边三角形,那么dce= _15度_。二、选择题1、下列命题中，真命题是（ b ）a.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；b.对角线互相垂直的平行四边形是菱形c.对角线互相平分且相等的四边形是菱形；d.对角线相等的四边形是菱形2、正方形具有而矩形不一定具有的特征是(c )a四个角都是直角b对角线互相平分c对角线互相垂直d对角线相等3、具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是(d)a三个角都是直角 b四个角都相等c对角线相等的平行四边形 d对角线垂直且相等4、矩形的各角平分线若相交围成的四边形是（ d ）a平行四边形 b菱形 c矩形 d正方形5、如图，在平面直角坐标系中，菱形oabc的顶点c的坐标是（3，4）则顶点a、b的坐标分别是 （ d ）a. （4，0）（7，4） b. （4，0）（8，4） c. （5，0）（7，4） d. （5，0）（8，4）6、菱形的周长为4，一个内角为60，则较短的对角线长为（ c ）a2 b c1 d27、如图，正方形abcd中，点e在bc的延长线上，ae平分dac,则下列结论:（1）e=22.50. (2) afc=112.50. (3) ace=1350（4）ac=ce(5) adce=1：. 其中正确的有（ a ） a 5个 b 4个 c 3个 d 2个三、解答题1、如图，o为矩形abcd对角线的交点，deac，cebd（1）试判断四边形oced的形状，并说明理由；（2）若ab=6，bc=8，求四边形oced的面积解：（1）四边形oced是菱形deac，cebd，四边形oced是平行四边形，又 在矩形abcd中，oc=od，四边形oced是菱形 （2）连结oe由菱形oced得：cdoe， oebc 又 cebd 四边形bceo是平行四边形oe=bc=8 s四边形oced=2、 如下图，在正方形abcd中，g为bc边上任意一点(与点b、c不重合)，aedg于点e，cfae交dg与点f。求证：ae=fc+ef证明：在正方形abcd中adbc,ade=dgc 在dgc中dgc+gdc=90又gdc+dcf=90 dgc=dcfade =dcf 另ad=dc rtaeddfc ae=df，de=fc ae=fc+ef3、如图l，已知正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o，e是ac上一点，连结eb，过点a作ambe，垂足为m，am交bd于点f(1)求证：oe=of；(2)如图2，若点e在ac的延长线上，ambe于点m，交db的延长线于点f，其它条件不变，则结论“oe=of”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 答案：(1)证明：四边形abcd是正方形 boe=aof90oboa 又ambe，mea+mae90=afo+maemeaafo rtb