高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课件3 新人教A版必修4.ppt

1 6三角函数模型的简单应用 三角函数的应用 1 根据实际问题的图象求出函数解析式 2 将实际问题抽象为与 有关的简单函数模型 3 利用搜集的数据作出 并根据 进行函数拟合 从而得到函数模型 三角函数 散点图 散点图 1 判一判 正确的打 错误的打 1 函数y tanx在定义域内是增函数 2 函数y 3sinx 1的最大值为3 3 直线x 是函数y cosx的一条对称轴 解析 1 错误 函数y tanx在开区间k z内是增函数 但在整个定义域上不具备单调性 2 错误 当sinx 1时 函数y 3sinx 1的最大值为4 3 正确 函数y cosx的对称轴为x k k z 当k 1时即为x 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 函数的定义域为 2 函数的最小正周期为 3 已知某地一天从4 16时的温度变化曲线近似满足函数y x 4 16 则该地区这一段时间内的温差为 解析 1 因为y tanx的定义域为故k z 解得x k k z 故所求函数的定义域为 x x r x k k z 答案 x x r x k k z 2 由函数y sin x 的周期是t 直接套用公式可得t 答案 3 由函数易知 当x 14时函数取最大值 此时最高温度为30 当x 6时函数取最小值 此时最低温度为10 所以温差为30 10 20 答案 20 要点探究 知识点三角函数模型的简单应用1 三角函数应用题的三种模式 1 给定呈周期变化规律的三角函数模型 根据所给模型 结合三角函数的性质 解决一些实际问题 2 给定呈周期变化的图象 利用待定系数法求出函数模型 再解决其他问题 3 整理一个实际问题的调查数据 根据数据作出散点图 通过拟合函数图象 求出可以近似表示变化规律的函数模型 进一步用函数模型来解决问题 2 三角函数模型应用的步骤 1 建模问题步骤 审读题意 建立三角函数式 根据题意求出某点的三角函数值 解决实际问题 2 建立数学模型的关键 先根据题意设出代表函数 再利用数据求出待定系数 然后写出具体的三角函数式 3 三角函数模型应用注意点 1 一般地 所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况 因此应特别注意自变量的取值范围 2 应用数学知识解决实际问题时 应注意从背景中提取基本的数学关系 并利用相关知识来理解 知识拓展 三角函数模型的应用流程 1 审题 选用什么样的函数模型建模 2 建模 根据题意 列出数量关系 建立三角函数模型 3 解模 运用三角函数的相关公式进行化简 4 还原 解模后还要根据实际问题的背景 进行检验 并作答 微思考 在建模过程中 散点图的作用是什么 提示 利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系 然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点 从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误 即时练 电流强度i a 随时间t s 变化的关系是则当t 时 电流强度i为 解析 当t 时 答案 题型示范 类型一三角函数图象与解析式的对应问题 典例1 1 函数y x sin x x 的大致图象是 2 如图是周期为2 的三角函数y f x 的图象 那么f x a sin 1 x b sin 1 x c sin 1 x d sin 1 x 解题探究 1 在题 1 中函数y x sin x x 具有怎样的奇偶性 奇函数 偶函数的图象有怎样的特点 2 在题 2 中周期为2 和函数的哪个量有关 图象过哪个特殊点 探究提示 1 函数y x sin x x 既不是奇函数也不是偶函数 偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 2 周期与 有关 可得 1 图象过 1 0 点 自主解答 1 选c y x sin x x 既不是奇函数也不是偶函数 故选c 2 选c 图象过点 1 0 排除a b 当x 0 1 时 f x 0 故选c 方法技巧 解决函数图象与解析式对应问题的策略 1 一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决 如函数的奇偶性 周期性 对称性 单调性 值域 此外零点也可以作为判断的依据 2 利用图象确定函数y asin x 的解析式 实质就是确定其中的参数a 其中a由最值确定 由周期确定 而周期由特殊点求得 由点在图象上求得 确定 时 注意它的不唯一性 一般要求 中最小的 变式训练 函数y xcosx的部分图象是 解析 选d 首先该函数是奇函数 故排除a c 又当0 x 时 y 0 排除b 故选d 类型二三角函数在物理中的应用 典例2 1 如图所示为一质点作简谐运动的图象 则下列判断正确的是 a 该简谐运动的振动周期为0 7sb 该简谐运动的振幅为5cmc 该质点在0 1s和0 5s时振动速度最大d 该质点在0 3s和0 7s时的加速度为零 2 已知如图表示电流强度i与时间t的关系i asin t a 0 0 的图象 试根据图象写出i asin t 的解析式 为了使i asin t a 0 0 中t在任意一段秒的时间内电流强度i能同时取得最大值a与最小值 a 那么正整数 的最小值是多少 解题探究 1 题 1 中由图中的哪些信息来确定该函数的周期和振幅 2 图中的最大值和最小值分别是多少 图中的和点与该函数的周期有何关系 探究提示 1 由图中的最低位置可得振幅 由 0 3 0 和 0 7 0 可知 0 7 0 3 0 4 故t 0 8 2 最大值和最小值分别为300和 300 由此可得a 300 由这两点可得 自主解答 1 选b 由图象知 振幅为5cm 0 7 0 3 0 4 故t 0 8s 故a错误 该质点在0 1s和0 5s离开平衡位置最远 而不能说振动速度最大 故c错误 该质点在0 3s和0 7s时正好回到平衡位置 而不是加速度为零 故d错误 2 由图知 a 300 t 所以 100 因为是该函数图象的第一个点 五点作图法 所以所以所以 问题等价于即所以 200 所以最小的正整数 为629 延伸探究 在本题 2 中其他条件不变的情况下 当t 10s时的电流强度i应为多少 解题指南 由题中求出的解析式可知 将t 10s代入求解即可 解析 将t 10s代入可得 方法技巧 处理物理学问题的策略 1 常涉及的物理学问题有单摆 光波 电流 机械波等 其共同的特点是具有周期性 2 明确物理概念的意义 此类问题往往涉及诸如频率 振幅等概念 因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题 变式训练 弹簧上挂的小球上下振动时 小球离开平衡位置的距离s cm 随时间t s 的变化曲线是一个三角函数曲线 其图象如图所示 1 求这条曲线对应的函数解析式 2 小球在开始振动时 离开平衡位置的位移是多少 解题指南 小球在开始振动时 离开平衡位置的位移就是t 0时s的值 解析 1 设这条曲线对应的函数解析式为s asin t 由图象可知 a 4 周期所以 2 此时所求函数的解析式为s 4sin 2t 以点为 五点法 作图的第二关键点 则有所以 得函数解析式为s 2 当t 0时 所以小球在开始振动时 离开平衡位置的位移是cm 补偿训练 如图是一个单摆的振动图象 则该单摆的振幅是 振动的频率是 解析 由图可知该单摆的振幅是1 振动的周期是0 8 所以振动的频率是 1 25 答案 11 25 类型三三角函数在实际生活中的应用 典例3 1 甲乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做匀速圆周运动 已知甲的速度是乙的速度的两倍 乙绕池一周为止 若用 表示乙在某时刻旋转角的弧度数 l表示甲乙两人的直线距离 则l f 的大致图象是 2 如图所示 游乐场中的摩天轮匀速转动 每转动一圈需要12分钟 其中心o距离地面40 5米 半径为40米 如果你从最低处登上摩天轮 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化 以你登上摩天轮的时刻开始计时 请回答下列问题 求出你与地面的距离y 米 与时间t 分钟 的函数关系式 当你第4次距离地面60 5米时 用了多长时间 解题探究 1 题 1 中当 为多少时两人相遇 此时l为多少 2 题 2 中可以选用哪种三角函数式来表示该函数的关系式 此种函数的周期为多少 探究提示 1 当 时 两人相遇 此时l 0 2 可以用余弦函数来表示该函数的关系式 周期为12分钟 自主解答 1 选b 由题意知 时 两人相遇 排除a c 两人的直线距离不可能为负 排除d 2 可以用余弦函数来表示该函数的关系式 由已知可设y 40 5 40cos t t 0 由周期为12分钟可知当t 6时 摩天轮第1次到达最高点 即此函数第1次取得最大值 所以6 即 所以y 40 5 40cost t 0 设转第1圈时 第t0分钟时距地面60 5米 由60 5 40 5 40cost0 得cost0 所以t0 或t0 解得t0 4或8 所以t 8分钟时 第2次距地面60 5米 故第4次距离地面60 5米时 用了12 8 20 分钟 方法技巧 解三角函数应用问题的基本步骤 变式训练 在图中 点o为做简谐运动的物体的平衡位置 取向右的方向为物体位移的正方向 若已知振幅为3cm 周期为3s 且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时 1 求物体对平衡位置的位移x cm 和时间t s 之间的函数关系式 2 求该物体在t 5s时的位置 解题指南 1 根据题意设出函数解析式 并求出其中的参数 得到函数关系 2 把t 5代入解析式得出物体的位置 解析 1 设x和t之间的函数关系为x 3sin t 0 0 2 由题意可得当t 0时 有x 3sin 3 sin 1 又0 2 故可得 所以所求函数解析式为 2 令t 5 得x 1 5 cm 故该物体在t 5s时的位置是在o点的左侧且距o点1 5cm 补偿训练 如图 一个大风车的半径是8米 每12分钟旋转一周 最低点离地面2米 若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转 则该翼片的端点p离地面的距离h 米 与时间t 分钟 之间的函数解析式是 a h 8cost 10b h 8cost 10c h 8sint 10d h 8cost 10 解析 选d 首先考虑建立直角坐标系 以最低点的切线作为x轴 最低点作为坐标原点 建立如图所示的直角坐标系 那么 风车上翼片端点所在位置p可由函数x t y t 来刻画 而且h t y t 2 所以 只需要考虑y t 的解析式 又设p的初始位置在最低点 即y 0 0 在rt o1pq中 由得y t 8cos 8 又所以 t y t 8cost 8 h t 8cost 10 拓展类型根据数据拟合函数 备选例题 1 下表所示是芝加哥1951年到1981年的月平均气温 华氏 以月份减1为x 平均气温为y 以下四个函数模型中哪一个最适合这些数据 a y acosxb y acosx 46c y acosx 46d y asinx 26 2 已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 时 的函数 其中0 t 24 记y f t 下表是某日各时的浪高数据 经长期观测 y f t 的图象可近似地看成是函数y acos t b的图象 根据以上数据 求其最小正周期 振幅及函数解析式 根据规定 当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放 请依据 的结论 判断一天内的8 00到20 00之间 有多少时间可供冲浪者进行活动 解析 1 选c 最高气温73 0 最低气温21 4 故2a 73 0 21 4 51 6 a 25 8 x 1时 y 26 0分别代入a b d均不成立 所以选c 2 由表中数据可知 t 12 所以又t 0时y 1 5 所以a b 1 5 t 3时y 1 0得b 1 0 所以振幅为 y cost 1 y 1时 才对冲浪爱好者开放 所以y cost 1 1 cost 0 即2k t 2k k z 得12k 3 t 12k 3 k z 又0 t 24 所以0 t 3或9 t 15或21 t 24 所以在规定时间内只有6个小时可以进行活动 即9 t 15 方法技巧 数据拟合的通法 1 处理的关键 数据拟合是一项重要的数据处理能力 解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化 而散点图在这里起了关键作用 2 一般方法 数据对 作散点图 确定拟合函数 解决实际问题 规范解答 综合应用函数y asin x b的性质解决实际问题 典例 12分 据市场调查 某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上 按月呈f x asin x b a 0 0 的模型波动 x为月份 已知3月份达到最高价8千元 7月份价格最低为4千元 该商品每件的售价为g x x为月份 且满足g x f x 2 2 1 分别写出该商品每件的出厂价函数f x 售价函数g x 的解析式 2 问哪几个月能盈利 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 解题时若在 处 值求错 从而使f x 的解析式求错 则本题最多得3分 失分点2 解题时若未能求出 处x的范围 则无法求出盈利时的月份 考试时要扣去3 4分 失分点3 解题时若漏掉 处k 1的情况 则会导致答案不全 考试时要扣去1分 悟题 提措施 导方向1 确定 值是求函数解析式的关键求 值时一般先求出sin 的值 再根据 的范围确定 值 有时可以根据函数图象确定 值 如本例确定 值的方法就是借助 的范围得到的 2 结合函数的图象 周期性表示x的范围确定满足不等式的x范