高三数学一轮复习 第七章 不等式 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件 理.ppt

理数课标版 第三节二元一次不等式 组 及简单的线性规划问题 1 二元一次不等式表示的平面区域一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 我们把直线画成 虚线以表示区域不包括边界直线 当我们在坐标系中画不等式ax by c 0所表示的平面区域时 此区域应包括边界直线 则把边界直线画成 实线 对于直线ax by c 0同一侧的所有点 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得到实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 由ax0 by0 c的正负即可判断ax by c 0 或 0 表示直线哪一侧的平面区域 教材研读 2 线性规划的有关概念 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 不等式ax by c 0表示的平面区域一定在直线ax by c 0的上方 2 线性目标函数的最优解可能是不唯一的 3 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 4 在目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 1 不等式组表示的平面区域是 答案cx 3y 6 0表示直线x 3y 6 0左上方部分 x y 2 0表示直线x y 2 0及其右下方部分 故不等式组表示的平面区域为选项c所示部分 2 不等式组所表示的平面区域的面积等于 a b c d 答案c平面区域如图中阴影部分所示 解可得a 1 1 易得b 0 4 c bc 4 s abc 1 3 2016北京 2 5分 若x y满足则2x y的最大值为 a 0b 3c 4d 5答案c画出可行域 如图中阴影部分所示 令z 2x y 则y 2x z 当直线y 2x z过点a 1 2 时 z最大 zmax 4 故选c 4 若点 m 1 在不等式2x 3y 5 0所表示的平面区域内 则m的取值范围是 答案 1 解析 点 m 1 在不等式2x 3y 5 0所表示的平面区域内 2m 3 5 0 即m 1 5 2016课标全国 14 5分 若x y满足约束条件则z x 2y的最小值为 答案 5 解析由约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 包括边界 当直线x 2y z 0过点b 3 4 时 z取得最小值 zmin 3 2 4 5 考点一二元一次不等式 组 表示的平面区域典例1 1 若满足条件的整点 x y 恰有9个 其中整点是指横 纵坐标都是整数的点 则整数a的值为 a 3b 2c 1d 0 2 在平面直角坐标系中 o是坐标原点 两定点a b满足 2 则点集 p 1 r 所表示的区域的面积是 a 2b 2c 4d 4 考点突破 答案 1 c 2 d解析 1 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示 当a 0时 平面区域内只有4个整点 1 1 0 0 1 0 2 0 当a 1时 正好增加 1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 共5个整点 故选c 2 由 2知 设 2 0 1 x y 则解得由 1得 x y 2y 2 作可行域如图 则所求面积s 2 4 4 方法技巧确定二元一次不等式 组 表示的平面区域的方法 1 直线定界 特殊点定域 即先作直线 再取特殊点并代入不等式 若满足不等式 则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域 否则就对应与特殊点异侧的平面区域 不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分 2 当不等式中不等号为 或 时 边界为实线 不等号为 或 时 边界应画为虚线 特殊点常取原点 1 1 2016汕头模拟 已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域 则实数k的值为 a 1b 1c 0d 2 答案a作出不等式组表示的平面区域 如图 可知要使原不等式组表示的区域为直角三角形区域 则k 0或k 1 故b d不正确 当k 0时 原不等式组表示的区域的面积为 3 3 1 故c不正确 故选a 考点二目标函数的最值 或范围 问题命题角度一求线性目标函数的最值典例2 2016课标全国 13 5分 设x y满足约束条件则z 2x 3y 5的最小值为 答案 10解析可行域如图中阴影部分所示 包括边界 直线2x y 1 0与x 2y 1 0相交于点 1 1 当目标函数线过 1 1 时 z取最小值 zmin 10 命题角度二求非线性目标函数的最值典例3 1 2016安徽安庆二模 如果点p x y 在平面区域上 则x2 y 1 2的最大值和最小值分别是 a 3 b 9 c 9 2d 3 2 2015课标 15 5分 若x y满足约束条件则的最大值为 答案 1 b 2 3解析 1 如图 作出点p x y 所在的平面区域 x2 y 1 2表示动点p到定点q 0 1 的距离的平方 过点q作qp0 直线x 2y 1 0于点p0 易知当点p在点p0处时 离q最近 p0q 2 当点p在点 0 2 处时 离q最远 pq 2 9 因此x2 y 1 2的最大值为9 最小值为 的几何意义是可行域内的点 x y 与原点o连线的斜率 所以的最大值即为直线oa的斜率 又由得点a的坐标为 1 3 则 koa 3 2 由约束条件画出可行域 如图 命题角度三线性规划中的参数问题典例4 2016山东三校4月联考 已知变量x y满足约束条件若目标函数z ax y 其中a 0 仅在点 1 1 处取得最大值 则a的取值范围为 a 0 2 b c d 答案b解析约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示 作直线l ax y 0 过点 1 1 作l的平行线l 要满足题意 则直线l 的斜率介于直线x 2y 3 0与直线y 1的斜率之间 因此 a 0 即0 a 故选b 方法技巧1 线性规划问题的解题步骤 1 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线 2 平移 将直线平行移动 以确定最优解的对应点的位置 3 求值 解方程组求出对应点坐标 即最优解 代入目标函数 即可求出最值 2 常见代数式的几何意义 1 表示点 x y 与原点 0 0 的距离 2 表示点 x y 与点 a b 之间的距离 3 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 4 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 2 1 2016海口调研测试 已知实数x y满足则z 3x y的取值范围为 a b 0 2 c d 答案a如图 画出不等式组表示的平面区域 阴影部分 及直线3x y 0 平移该直线 平移到经过该平面区域内的点a 1 3 该点是直线x y 2 0与x y 4 0的交点 时 相应直线在x轴上的截距达到最小 此时z 3x y取得最小值 最小值为3 1 3 0 平移到经过该平面区域内的点b 该点是直线4x y 4 0与x y 4 0的交点 时 相应直线在x轴上的截距达到最大 此时z 3x y取得最大值 最大值为3 因此z的取值范围是 选a 2 2 2016浙江 3 5分 在平面上 过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影 由区域中的点在直线x y 2 0上的投影构成的线段记为ab 则 ab a 2b 4c 3d 6答案c由不等式组画出可行域 如图中的阴影部分所示 因为直线x y 2 0与直线x y 0平行 所以可行域内的点在直线x y 2 0上的投影构成的线段的长 ab 即为 cd 易得c 2 2 d 1 1 所以 ab cd 3 故选c 2 3 2016福建漳州八校4月联考 若直线y 2x上存在点 x y 满足约束条件则实数m的最大值为 a 1b 1c d 2答案b约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示 将直线x m从如图所示的实线位置平移到过a点的虚线位置时 m取最大值 解方程组得a点坐标为 1 2 m的最大值是1 故选b 考点三线性规划的实际应用典例5 2016课标全国 16 5分 某高科技企业生产产品a和产品b需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品a需要甲材料1 5kg 乙材料1kg 用5个工时 生产一件产品b需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用3个工时 生产一件产品a的利润为2100元 生产一件产品b的利润为900元 该企业现有甲材料150kg 乙材料90kg 则在不超过600个工时的条件下 生产产品a 产品b的利润之和的最大值为元 答案216000解析设生产产品ax件 产品by件 依题意 得 设生产产品a 产品b的利润之和为e元 则e 2100 x 900y 画出可行域 图略 易知最优解为此时emax 216000 方法技巧解线性规划应用题的步骤 1 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为线性规划问题 2 求解 解这个纯数学的线性规划问题 3 作答 将数学问题的答案还原为实际问题的答案 3 1a b两种规格的产品都需要在甲 乙两台机器上各加工一道工序才能成为成品 已知a产品需要在甲机器上加工3小时 在乙机器上加工1小时 b产品需要在甲机器上加工1小时 在乙机器上加工3小时 在一个工作日内 甲机器至多只能使用11小时 乙机器至多只能使用9小时 a产品每件利润300