高三数学一轮复习 第六章 数列 第四节 数列求和课件 文.ppt

文数课标版 第四节数列求和 1 求数列的前n项和的方法 1 公式法 i 等差数列的前n项和公式sn na1 教材研读 ii 等比数列的前n项和公式当q 1时 sn na1 当q 1时 sn 2 分组转化法把数列的每一项转化成几项之和 使所求和转化为几个等差 等比数列之和 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加 倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 错位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法 若一个数列的前n项和中 可两两合并求解 这种方法称为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 2 常见的裂项公式 1 2 3 较为合理 2 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和sn 3 求sn a 2a2 3a3 nan时只要把等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得 4 如果数列 an 是周期为k的周期数列 那么skm msk m k为大于1的正整数 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 如果已知等差数列的通项公式 那么在求其前n项和时使用公式sn 1 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则它的前n项和sn a 2n n2 1b 2n 1 n2 1 c 2n 1 n2 2d 2n n2 2 答案csn 21 1 22 3 23 5 2n 2n 1 21 22 2n 1 3 5 2n 1 2n 1 2 n2 故选c 2 已知数列 an 的前n项和为sn 1 5 9 13 17 21 1 n 1 4n 3 则s15 s22 s31的值是 a 13b 76c 46d 76 3 数列的前n项之和为 则n 答案99解析由题意得 1 令 解得n 99 4 已知数列 an 的前n项和为sn 且an n 2n 则sn 答案 n 1 2n 1 2解析 an n 2n sn 1 21 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 得 sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 1 n 2n 1 2 sn n 1 2n 1 2 考点一错位相减法求和典例1 2016山东 19 12分 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 2 令cn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 由题意知当n 2时 an sn sn 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 11 符合上式 所以an 6n 5 设数列 bn 的公差为d 由即 考点突破 可解得所以bn 3n 1 2 由 1 知cn 3 n 1 2n 1 由tn c1 c2 cn 得tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 两式作差 得 tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 3 3n 2n 2 所以tn 3n 2n 2 方法技巧 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 1 1 2016吉林长春外国语学校期末 已知数列 an 是公差大于零的等差数列 数列 bn 为等比数列 且a1 1 b1 2 b2 a2 1 a3 b3 13 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设cn anbn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 设数列 an 的公差为d d 0 数列 bn 的公比为q 由已知得解得或 d 0 d 2 q 2 an 1 2 n 1 2n 1 bn 2 2n 1 2n 即an 2n 1 n n bn 2n n n 2 由 1 知cn anbn 2n 1 2n tn 1 2 3 22 5 23 2n 1 2n 2tn 1 22 3 23 5 24 2n 1 2n 1 考点二裂项相消法求和典例2 2015课标 17 12分 sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4sn 3 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和 解析 1 由 2an 4sn 3 可知 2an 1 4sn 1 3 可得 2 an 1 an 4an 1 即2 an 1 an an 1 an an 1 an 由an 0 可得an 1 an 2 又 2a1 4a1 3 解得a1 1 舍去 或a1 3 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 2 由an 2n 1可知bn 设数列 bn 的前n项和为tn 则tn b1 b2 bn 易错警示利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 有些情况下 裂项时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 2 1数列 an 的前n项和为sn 2n 1 2 数列 bn 是首项为a1 公差为d d 0 的等差数列 且b1 b3 b9成等比数列 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 若cn n n 求数列 cn 的前n项和tn 又a1 s1 21 1 2 2 21 也满足上式 所以数列 an 的通项公式为an 2n 由b1 b3 b9成等比数列 得 2 2d 2 2 2 8d 解得d 0 舍去 或d 2 所以数列 bn 的通项公式为bn 2n 2 由 1 得cn 所以数列 cn 的前n项和tn 1 1 解析 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 2n 2n 考点三分组转化法求和典例3 2015福建 17 12分 等差数列 an 中 a2 4 a4 a7 15 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn n 求b1 b2 b3 b10的值 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由已知得解得所以an a1 n 1 d n 2 2 由 1 可得bn 2n n 所以b1 b2 b3 b10 2 1 22 2 23 3 210 10 2 22 23 210 1 2 3 10 211 2 55 211 53 2101 规律总结 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组转化法求 an 的前n项和 2 对于通项公式为an 的数列 其中 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组转化法求和 3 采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 这就需要通过对数列通项结构特点进行分析研究 将数列的通项合理分解转化 3 1 2017山东临沂期中 设数列 an 的前n项和sn满足sn 2an a1 且a1 a3 1 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足an bn 1 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 数列 an 的前n项和sn 2an a1 当n 2时 an sn sn