高中数学 1.2.2集合的运算教学设计 新人教B版必修1.doc

12.2集合的运算教学分析课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍补集和全集等概念在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用venn图进行求补集的运算三维目标1理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高归纳的能力2通过观察和类比，借助venn图理解集合的基本运算体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想重点难点教学重点：交集与并集，全集与补集的概念教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系课时安排2课时第1课时导入新课思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如538.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合c与集合a、b之间的关系吗？(1)a1,3,5，b2,4,6，c1,2,3,4,5,6；(2)ax|x是有理数，bx|x是无理数，cx|x是实数引导学生通过观察、归纳、思考和交流，得出结论教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容思路3.(1)如下图甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合a、集合b有什么关系？观察集合a与b与集合c1,2,3,4之间的关系(2)已知集合a1,2,3，b2,3,4，写出由集合a，b中的所有元素组成的集合c.已知集合ax|x1，bx|x0，在数轴上表示出集合a与b，并写出由集合a与b中的所有元素组成的集合c.学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算推进新课通过上述问题中集合a与b与集合c之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？用文字语言来叙述上述问题中，集合a与b与集合c之间的关系用数学符号来叙述上述问题中，集合a与b与集合c之间的关系试用venn图表示abc.请给出集合的并集定义求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合a与b与集合c之间有什么关系？()a2,4,6,8,10，b3,5,8,12，c8；()ax|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学，bx|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学，cx|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用venn图来显示讨论结果：集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集集合c叫集合a与b的并集，记为abc，读作a并b.所有属于集合a或属于集合b的元素组成了集合c.cx|xa，或xb如下图所示一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为集合a与b的并集其含义用符号表示为abx|xa，或xb集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作ab，读作a交b.()abc，()abc.一般地，由属于集合a且属于集合b的所有元素组成的集合，称为a与b的交集其含义用符号表示为：abx|xa，且xb用venn图表示，如下图所示思路1例1 设a4,5,6,8，b3,5,7,8，求ab，ab.活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法根据集合并集、交集的含义，借助于venn图写出观察这两个集合中的元素，或用venn图来表示，如下图所示解：ab4,5,6,83,5,7,83,4,5,6,7,8ab4,5,6,83,5,7,85,8点评：本题主要考查集合的并集和交集用列举法表示的集合，运算时常利用venn图或直接观察得到结果本题易错解为ab3,4,5,5,6,7,8,8其原因是忽视了集合元素的互异性解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.变式训练1集合m1,2,3，n1,5,6,7，则mn_，mn_.答案：1,1,2,3,5,6,72集合p1,2,3，m，mm2,3，pm1,2,3，m，则m_.解析：由题意得m21或2或m，解得m1,1，0.因m1不合题意，故舍去答案：1，03求下列每对集合的交集：(1)ax|x22x30，bx|x24x30；(2)c1,3,5,7，d2,4,6,8解：(1)ab1，31，33；(2)cd4.已知qx|x是有理数，zx|x是整数，求qz.解：qzx|x是有理数x|x是整数x|x是有理数q.例2 设ax|1x2，bx|1x3，求ab，ab.活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义利用数轴，将a、b分别表示出来，则阴影部分即为所求用数轴表示描述法表示的数集解：将ax|1x2及bx|1x3在数轴上表示出来，如下图所示的阴影部分即为所求由图得abx|1x2x|1x3x|1x3，abx|1x2x|1x3x|1x2点评：本类题主要考查集合的并集和交集用描述法表示的数集，运算时常利用数轴来计算结果.变式训练1设ax|2x42，bx|2x40，求ab，ab.答案：abr，abx|2x32设ax|2x42，bx|2x40，求ab，ab.答案：ab3,2，ab3设ax|x是奇数，bx|x是偶数，求az，bz，ab.解：azx|x是奇数x|x是整数x|x是奇数a，bzx|x是偶数x|x是整数x|x是偶数b，abx|x是奇数x|x是偶数4已知a(x，y)|4xy6，b(x，y)|3x2y7，求ab.分析：集合a和b的元素是有序实数对(x，y)，a，b的交集即为方程组的解集解：ab(x，y)|4xy6(x，y)|3x2y7(x，y)|(1,2)5已知ax|x是等腰三角形，bx|x是直角三角形，求ab.解：abx|x是等腰三角形x|x是直角三角形x|x是等腰直角三角形.思路2例1 ax|x5，bx|x0，cx|x10，则ab，bc，abc分别是什么？活动：学生先思考集合中元素特征，明确集合中的元素将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果的寻求就容易进行这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素解：因ax|x5，bx|x0，cx|x10，在数轴上表示，如下图所示，所以abx|0x5，bcx|x0，abc点评：本题主要考查集合的交集和并集求集合的并集和交集时，明确集合中的元素；依据并集和交集的含义，借助于直观(数轴或venn图)写出结果.变式训练1设ax|x2n，nn，bx|x2n，nn，求ab，ab.解：对任意ma，则有m2n22n1，nn，因nn，故n1n，有2n1n，那么mb，即对任意ma有mb，所以ab.而10b但10a，即ab，那么aba，abb.2求满足1,2b1,2,3的集合b的个数解：满足1,2b1,2,3的集合b一定含有元素3，b3；还可含1或2其中一个，有1,3，2,3；还可含1和2，即1,2,3，那么共有4个满足条件的集合b.3设a4,2，a1，a2，b9，a5,1a，已知ab9，求a.解：因ab9，则9a，a19或a29，a10或a3，当a10时，a55,1a9；当a3时，a12不合题意；当a3时，a14不合题意故a10，此时a4,2,9,100，b9,5，9，满足ab94设集合ax|2x13，bx|3x2，则ab等于 ()ax|3x1 bx|1x2cx|x3 dx|x1解析：集合ax|2x13x|x1，观察或由数轴得abx|3x1答案：a例2 设集合ax|x24x0，bx|x22(a1)xa210，ar，若abb，求a的值活动：明确集合a、b中的元素，教师和学生共同探讨满足abb的集合a、b的关系集合a是方程x24x0的解集，可以发现，ba，通过分类讨论集合b是否为空集来求a的值利用集合的表示法来认识集合a、b均是方程的解集，通过画venn图发现集合a、b的关系，从数轴上分析求得a的值解：由题意得a4,0abb，ba.b或b当b时，即关于x的方程x22(a1)xa210无实数解，则4(a1)24(a21)0，解得a1.当b时，若集合b仅含有一个元素，则4(a1)24(a21)0，解得a1，此时，bx|x200a，即a1符合题意若集合b含有两个元素，则这两个元素是4、0，即关于x的方程x22(a1)xa210的解是4、0.则有解得a1，则a1符合题意综上所得，a1或a1.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.变式训练1已知非空集合ax|2a1x3a5，bx|3x22，求能使a(ab)成立的所有a值的集合解：由题意知a(ab)，即ab，a非空，得解得6a9，即所有a值的集合是a|6a92已知集合ax|2x5，集合bx|m1x2m1，且aba，试求实数m的取值范围分析：由aba得ba，则有b或b，因此对集合b分类讨论解：aba，ba. 又ax|2x5，b，或b当b时，有m12m1，m2.当b时，观察下图：由数轴可得解得2m3.综上所述，实数m的取值范围是m2或2m3，即m3.1设a3,5,6,8，b4,5,7,8，(1)求ab，ab.(2)用适当的符号(、)填空：(ab)_a，b_(ab)，(ab)_a，(ab)_b，(ab)_(ab)解：(1)因a、b的公共元素为5、8，则ab3,5,6,84,5,7,85,8又a、b两集合的元素为3、4、5、6、7、8，故ab3,4,5,6,7,8(2)(ab) a，b (ab)，(ab) a，(ab) b，(ab) (ab)2设ax|x5，bx|x0，求ab.解：因x5及x0的公共部分为0x5，故abx|x5x|x0x|0x53设ax|x是锐角三角形，bx|x是钝角三角形，求ab.解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立，故a、b两集合没有公共部分所以abx|x是锐角三角形x|x是钝角三角形4设ax|x2，bx|x3，求ab.解：在数轴上将a、b分别表示出来，得abx|x25设ax|x是平行四边形，bx|x是矩形，求ab.解：因矩形是平行四边形，故由a及b的元素组成的集合为ab，abx|x是平行四边形6已知m1，n1,2，设a(x，y)|xm，yn，b(x，y)|xn，ym，求ab，ab.分析：m、n中元素是数，a、b中元素是平面内点集，关键是找其元素解：m1，n1,2，则a(1,1)，(1,2)，b(1,1)，(2,1)，故ab(1,1)，ab(1,1)，(1,2)，(2,1)7若a、b、c为三个集合，abbc，则一定有()aac bca cac da解析：思路一：(bc) b，(bc) c，abbc，(ab) b，(ab) c.abc.ac.思路二：取满足条件的a1，b1,2，c1,2,3，排除b、d，令a1,2，b1,2，c1,2，则此时也满足条件abbc，而此时ac，排除c.答案：a观察：(1)集合a1,2，b1,2,3,4时，ab、ab这两个运算结果与集合a、b的关系；(2)当a时，ab、ab这两个运算结果与集合a、b的关系；(3)当ab1,2时，ab、ab这两个运算结果与集合a、b的关系由(1)(2)(3)你发现了什么结论？活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合a、b的关系用venn图来发现运算结果与集合a、b的关系(1)(2)(3)中的集合a、b均满足ab，用venn图表示，如下图所示，就可以发现ab、ab与集合a、b的关系解：abaababb.可用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：abba，a (ab)，b (ab)；aaa，aa，ababb；abba；(ab) a，(ab) b；aaa；a；ababa.本节主要学习了：1集合的交集和并集2通常借助于数轴或venn图来求交集和并集1课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义3书面作业：课本习题12a3、4、5.由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容设计中通过借助于数轴或venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法(设计者：尚大志)第2课时导入新课问题：分别在整数范围和实数范围内解方程(x3)(x)0，其结果会相同吗？若集合ax|0x2，xz，bx|0x2，xr，则集合a、b相等吗？学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题推进新课用列举法表示下列集合：axz|(x2)(x)(x)0；bxq|(x2)(x)(x)0；cxr|(x2)(x)(x)0问题中三个集合相等吗？为什么？由此看，解方程时要注意什么？问题，集合z、q、r分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义已知全集u1,2,3，a1，写出全集中不属于集合a的所有元素组成的集合b.请给出补集的定义用venn图表示ua.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围讨论结果：a2，b2，c2，不相等，因为三个集合中的元素不相同解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用u表示b2,3对于一个集合a，全集u中不属于集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集. 集合a相对于全集u的补集记为ua，即uax|xu，且xa如下图所示，阴影表示补集思路1例1设ux|x是小于9的正整数，a1,2,3，b3,4,5,6，求ua，ub.活动：让学生明确全集u中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集u，依据补集的定义写出ua，ub.解：根据题意，可知u1,2,3,4,5,6,7,8，所以ua4,5,6,7,8；ub1,2,7,8点评：本题主要考查补集的概念和求法用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果常见结论：u(ab)(ua)(ub)；u(ab)(ua)(ub).变式训练1已知u1,2,3,4,5,6，a1,3,5求ua，aua，aua.解：ua2,4,6，aua，auau.2已知ux|x是实数，qx|x是有理数，求uq.解：uqx|x是无理数3已知ur，ax|x5，求ua.解：uax|x5.例2 设全集ux|x是三角形，ax|x是锐角三角形，bx|x是钝角三角形求ab，u(ab)活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义结合交集、并集和补集的含义写出结果ab是由集合a、b中公共元素组成的集合，u(ab)是全集中除去集合ab中剩下的元素组成的集合解：根据三角形的分类可知ab，abx|x是锐角三角形或钝角三角形，u(ab)x|x是直角三角形.变式训练1已知集合ax|3x8，求ra.解：rax|x3或x82设sx|x是至少有一组对边平行的四边形，ax|x是平行四边形，bx|x是菱形，cx|x是矩形，求bc，ab，sa.解：bcx|正方形，abx|x是邻边不相等的平行四边形，sax|x是梯形3已知全集ir，集合ax|x2ax12b0，bx|x2axb0，满足(ia)b2，(ib)a4，求实数a、b的值答案：a，b.4设全集ur，ax|x2，b3,4,5,6，则(ua)b等于()a4b4,5,6c2,3,4 d1,2,3,4解析：ur，ax|x2，uax|x2而4、5、6都大于2，(ua)b4,5,6答案：b思路2例1已知全集ur，ax|2x4，bx|3x3，求：(1)ua，ub；(2)(ua)(ub)，u(ab)，由此你发现了什么结论？(3)(ua)(ub)，u(ab)，由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决依据补集的含义，借助于数轴求得在数轴上表示集合a，b.解：如下图所示，(1)由图得uax|x2或x4，ubx|x3或x3(2)由图得(ua)(ub)x|x2或x4x|x3或x3x|x2或x3abx|2x4x|3x3x|2x3，u(ab)ux|2x3x|x2或x3得出结论u(ab)(ua)(ub)(3)由图得(ua)(ub)x|x2或x4x|x3或x3x|x3或x4abx|2x4x|3x3x|3x4，u(ab)ux|3x4x|x3或x4得出结论u(ab)(ua)(ub).变式训练1已知集合u1,2,3,4,5,6,7，a2,4,5,7，b3,4,5，则(ua)(ub)等于()a1,6 b4,5c1,2,3,4,5,7 d1,2,3,6,7答案：d2设集合ix|x|3，xz，a1,2，b2，1，2，则a(ib)等于()a1 b1,2 c2d0,1,2答案：d例2 设全集ux|x20，xn，x是质数，a(ub)3,5，(ua)b7,19，(ua)(ub)2,17，求集合a、b.活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素利用列举法表示全集u，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的venn图中即可求集合a、b的关键是确定它们的元素，由于全集是u，则集合a、b中的元素均属于全集u，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于venn图来解决解：u2,3,5,7,11,13,17,19，由题意借助于venn图，如下图所示，a3,5,11,13，b7,11,13,19点评：本题主要考查集合的运算、venn图以及推理能力借助于venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，这正体现了数形结合思想的优越性.变式训练1. 设i为全集，m、n、p都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是()am(in)p bm(np)c(im)(in)p dmn(np)解析：思路一：阴影部分在集合m内部，排除c；阴影部分不在集合n内，排除b、d.思路二：阴影部分在集合m内部，即是m的子集，又阴影部分在p内不在集合n内即在(in)p内，所以阴影部分表示的集合是m(in)p答案：a2设u1,2,3,4,5,6,7,8,9，(ua)b3,7，(ub)a2,8，(ua)(ub)1,5,6，则集合a_，b_.解析：借助venn图，如下图，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合a、b了答案：2,4,8,93,4,7,91设全集ur，ax|2x10，试用文字语言表述ua的意义解：ax|2x10即不等式2x10的解集，ua中元素均不能使2x10成立，即ua中元素应当满足2x10.ua即不等式2x10的解集2如下图所示，u是全集，m，p，s是u的三个子集，则阴影部分表示的集合是_解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合s内；二是在集合m、p的公共部分内因此阴影部分表示的集合是集合s的补集与集合m、p的交集的交集，即(us)(mp)答案：(us)(mp)3设集合a、b都是u1,2,3,4的子集，已知(ua)(ub)2，(ua)b1，则a等于()a1,2 b2,3 c3,4 d1,4解析：如下图所示由于(ua)(ub)2，(ua)b1，则有ua1,2a3,4答案：c4设全集u1,2,3,4,5,6,7,8，集合s1,3,5，t3,6，则u(st)等于 ()a b2,4,7,8 c1,3,5,6 d2,4,6,8解析：直接观察(或画出venn图)，得st1,3,5,6，则u(st)2,4,7,8答案：b5已知集合i1,2,3,4，a1，b2,4，则a(ib)等于()a1 b1,3 c3 d1,2,3解析：ib1,3，a(ib)11,31,3答案：b问题：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：(1)至少解对其中一题者有多少人？(2)两题均未解对者有多少人？分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决解：设全集为u，a只解对甲题的学生，b只解对乙题的学生，c甲、乙两题都解对的学生，则ac解对甲题的学生，bc解对乙题的学生，abc至少解对一题的学生，u(abc)两题均未解对的学生由已知，ac有34个人，c有20