高三数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 文.ppt_第1页
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文数课标版 第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 1 平面向量的数量积 1 向量a与b的夹角 已知两个非零向量a b 过o点作 a b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 教材研读 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b a b cos 3 规定0 a 0 4 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 5 a b的几何意义a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b r 3 a b c a c b c 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 a b为非零向量 则a b x1x2 y1y2 0 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 由a b 0 可得a 0或b 0 2 两向量a b的充要条件 a b 0 x1x2 y1y2 0 3 若a b 0 则a和b的夹角为锐角 若a b 0 则a和b的夹角为钝角 4 a b c a b c 5 a b a c a 0 则b c 1 两个非零向量a b互相垂直 给出下列式子 a b 0 a b a b a b a b a 2 b 2 a b 2 a b a b 0 其中正确的式子有 a 2个b 3个c 4个d 5个答案b 显然正确 由向量运算的三角形法则知a b与a b长度相等 方向不同 所以 错误 正确 由向量数量积的运算律可知 a b 2 a 2 b 2 故 正确 只有在 a b 时 a b与a b才垂直 错误 故选b 2 设向量a b满足 a b 1 a b 则 a 2b a b c d 答案b a 2b 3 在边长为1的等边 abc中 设 a b c 则a b b c c a a b 0c d 3答案a依题意有a b b c c a 故选a 4 若非零向量a b满足 a b 2a b b 0 则a与b的夹角为 a 30 b 60 c 120 d 150 答案c设a与b的夹角为 2a b b 0 2a b b2 0 2 a b cos b2 0 又 a b 2 a 2cos a 2 0 cos 又 0 180 120 故选c 5 已知a m 1 3 b 1 m 1 且 a b a b 则m的值是 答案 2解析a b m 2 m 4 a b m 2 m a b a b m m 2 m 4 m 2 0 m 2 考点一平面向量数量积的运算典例1 1 2015课标 4 5分 向量a 1 1 b 1 2 则 2a b a a 1b 0c 1d 2 2 2016天津 7 5分 已知 abc是边长为1的等边三角形 点d e分别是边ab bc的中点 连接de并延长到点f 使得de 2ef 则 的值为 a b c d 答案 1 c 2 b解析 1 因为2a b 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 0 所以 2a b a 1 0 1 1 1 1 0 1 1 故选c 考点突破 2 建立如图所示的平面直角坐标系 则b c a 所以 1 0 易知de ac fec ace 60 则ef ac 所以点f的坐标为 所以 所以 1 0 故选b 方法技巧 1 求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用数量积的几何意义 2 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时 可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算 但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 另外 解决此类问题时 可建立坐标系 利用向量的坐标表示求解 1 1设向量a 1 2 b m 1 如果向量a 2b与2a b平行 那么a与b的数量积等于 a b c d 答案da 2b 1 2m 4 2a b 2 m 3 由题意得3 1 2m 4 2 m 0 则m 所以a b 1 2 1 1 2在等腰梯形abcd中 已知ab dc ab 2 bc 1 abc 60 点e和f分别在线段bc和dc上 且 则 的值为 答案 解析解法一 由题意可知cd 1 ad bc 1 又因为 2 所以 在 adf中 在梯形abcd中 在 abe中 所以 22 2 1 12 考点二平面向量数量积的应用命题角度一模的问题典例2 1 2016河北衡水模拟 已知 a 1 b 2 a与b的夹角为 那么 4a b a 2b 6c 2d 12 2 已知e1 e2是平面单位向量 且e1 e2 若平面向量b满足b e1 b e2 1 则 b 答案 1 c 2 解析 1 4a b 2 16a2 b2 8a b 16 1 4 8 1 2 cos 12 4a b 2 2 e1 e2 e1 e2 cos 60 又 b e1 b e2 1 0 30 由b e1 1 得 b e1 cos30 1 b 典例3 1 abc是边长为2的等边三角形 已知向量a b满足 2a 2a b 则下列结论正确的是 a b 1b a bc a b 1d 4a b 2 已知向量a k 3 b 1 4 c 2 1 且 2a 3b c 则实数k a b 0c 3d 答案 1 d 2 c解析 1 b b 2 故a错 2 2 cos60 2 即 2a b 2 a b 1 故b c都错 4a b 4a b b 4a b b2 4 4 0 4a b 故选d 2 2a 3b 2k 3 6 由 2a 3b c 得 2a 3b c 0 即4k 6 6 0 解得k 3 选c 命题角度二垂直问题 典例4 1 2016课标全国 3 5分 已知向量 则 abc a 30 b 45 c 60 d 120 2 已知向量a 1 b 3 m 若向量a b的夹角为 则实数m a 2b c 0d 答案 1 a 2 b解析 1 cos abc 所以 abc 30 故选a 2 a 1 b 3 m a 2 b a b 3 m 命题角度三夹角问题 又a b的夹角为 cos 即 m 解得m 2 1已知向量a b满足 a 2b a b 6 且 a 1 b 2 则a与b的夹角为 答案 解析由 a 2b a b 6 得a2 2b2 a b 6 又 a 1 b 2 a b 1 设向量a与b的夹角为 则cos 又0 故 方法技巧平面向量数量积求解问题的策略 1 求两向量的夹角 cos 要注意 0 2 两向量垂直的应用 a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 a a a 2或 a a b 若a x y 则 a 考点三平面向量与三角函数的综合问题典例5已知向量a b 且x 1 求a b及 a b 2 若f x a b a b 求f x 的最大值和最小值 解析 1 a b coscos sinsin cos2x a b a b 2 cosx x cosx 0 a b 2cosx 2 f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 2 x cosx 1 当cosx 时 f x 取得最小值 当cosx 1时 f x 取得最大值 1 方法技巧平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 先运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 3 1已知 abc

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